Cómo demostrar que "e" es irracional

Cómo demostrar que el número e es irracional
El número e es bien conocido en el mundo de las Matemáticas. Es la base de los logaritmos neperianos, y su valor redondeando a5 decimales es e = 2′71828. Se sabe que es un número irracional1 y trascendente2. El post va a estar dedicado a demostrar que e es irracional. Demostraremos este hechomediante reducción al absurdo (en este post vimos en qué consistía este método de demostración). Vamos con ella:
Comenzamos mostrando una propiedad bien conocida del número e:(1)
Supongamos ahora que podemos obtener e como cociente de dos enteros positivos (por la expresión anterior claramente e debe ser positivo), es decir:
(2)
siendo p y qenteros positivos. Multiplicamos la expresión (1) por q! a ambos lados, obteniendo:
(3)
Por (2) tenemos que q!e es un número entero, y claramente la parte de la suma queaparece explícitamente en (3) también es un número entero. Por tanto la diferencia entre ellos, digamos R, también será un número entero (y positivo). Veamos qué forma tiene R:Simplificamos los factoriales:

Como q + 2 > q + 1, q + 3 > q + 1, etc, se cumple la siguiente desigualdad:

Sacando factor común y usando la fórmula de la suma de unaprogresión geométrica:

Pero q era un entero positivo, por tanto q > 1. En consecuencia su inverso será menor que 1. Tenemos entonces que R es un número entero positivo quecumple la siguiente cadena de desigualdades:

Pero como no existe ningún número entero entre 0 y 1 tenemos que la esta situación no puede darse. Es decir, hemos llegado auna contradicción que partió del hecho de suponer que e era racional. Por tanto, utilizando reducción al absurdo, obtenemos que el número e es un número irracional.