dafo

Estad´
ıstica II
Ejercicios Tema 4
Curso 2013/14

–

Soluciones

1. Los siguientes datos muestran la estatura (en cms.) y el peso (en kgs.) para una muestra de cinco
alumnos de una clase:
estatura (cms.)
154
158
162
171
176

peso (kgs.)
60
62
61
66
84

a) Calcula e interpreta los coeficientes de covarianza y de correlaci´n lineal muestrales entre la
o
estatura y el peso.b) Calcula estimadores puntuales para los par´metros (pendiente y constante) de la recta de
a
regresi´n del peso en funci´n de la estatura, as´ como para la varianza del error de la respuesta.
o
o
ı
¿En cu´ntos kgs. aumenta el peso, en promedio, por cada 10 cms. adicionales de estatura?
a
c) Calcula estimadores por intervalos al 10 % de confianza para los par´metros (pendiente y
aconstante) de la recta de regresi´n del peso en funci´n de la estatura, as´ como para la varianza
o
o
ı
del error de la respuesta.
d) ¿Aportan los datos evidencia significativa al 10 % para concluir que el peso depende linealmente
de la estatura? Plantea y resuelve el contraste de hip´tesis correspondiente, y acota su P-valor.
o
¿Para qu´ niveles de significaci´n puedes asegurar que el pesodepende de la estatura?
e
o
e) Supongamos que un alumno mide 174 cms. A partir de los datos dados, ¿cu´l es el peso medio
a
estimado de los alumnos que miden 174 cms? Da un intervalo de confianza al 95 % para el peso
medio de los alumnos que miden 174 cms. Supongamos que cierto alumno de la clase mide 174
cms. Calcula un intervalo de predicci´n al 95 % de confianza para su peso.
o
Soluci´n.
oa) Tomamos como variable independiente x = estatura (en cms.), y como variable dependiente o
respuesta y = peso (en cms.). Nos dan una muestra de tama˜o n = 5. A partir de los datos
n
dados, obtenemos que:
n

x = 164,20,
¯

n

x2
i

y = 66,60,
¯

= 135141,

i=1

n
2
yi

= 22577,

i=1

xi yi = 54988.
i=1

Adem´s,
a
s2 =
x

1
n−1

n
i=1

x2 − n¯2 = 83,20,x
i

s2 =
y

1
n−1

n
i=1

2
yi − n¯2 = 99,80.
y

Los coeficientes de covarianza y de correlaci´n toman los valores
o
cov(x, y) =

1
n−1

n
i=1

xi yi − n¯y = 77,35,
x¯

y
cor(x, y) =

cov(x, y)
= 0,85.
sx sy

Los valores de ambos coeficientes son indicativos de una relaci´n lineal positiva entre ambas
o
variables. El valor del coeficiente de correlaci´n pr´ximoa 1 indica que la recta de regresi´n
o
o
o
proporcionar´ un buen ajuste a los datos observados.
a
1

b) Las estimaciones puntuales de la pendiente y la constante del modelo de regresi´n lineal simple
o
de y sobre x son:
β1 =

cov(x, y)
= 0,930,
s2
x

β0 = y − β1 x = −86,055.
¯
¯

En promedio, podemos estimar el aumento de peso por cada 10 cms. adicionales de estatura
en 9,3kgs.
Para estimar la varianza del error de la respuesta, σ 2 , tenemos que calcular la suma de cuadrados de los residuos ei = yi − yi = yi − (β0 + β1 xi ). Haciendo los c´lculos, obtenemos que
a
n
e2 = 111,555. Por tanto, la estimaci´n puntual de la varianza del error est´ dada por el
o
a
i=1 i
valor de la varianza residual:
n
e2
s2 = i=1 i = 37,18.
R
n−2

c) El intervalo deconfianza a nivel 1 − α para la pendiente de la recta de regresi´n est´ dado por
o
a
s2
R
.
(n − 1)s2
x

IC1−α (β1 ) : β1 ± tn−2;α/2

Tomando α = 0,10, y aplicando que t3;0,05 = 2,353, obtenemos el IC para β1 dado por 0,930 ±
0,787, es decir, de 0,143 a 1,716.
El intervalo de confianza a nivel 1 − α para la constante de la recta de regresi´n est´ dado por
o
a
IC1−α (β0 ) : β0 ± tn−2;α/2s2
1
R
+
.
n (n − 1)s2
x

Tomando α = 0,10, obtenemos el IC −86,055 ± 129,327, es decir, de −215,38 a 43,27.
El intervalo de confianza a nivel 1 − α para σ 2 est´ dado por
a
IC1−α (σ 2 ) :

(n − 2)s2
(n − 2)s2
R
R
≤ σ2 ≤
.
χn−2;α/2
χn−2;1−α/2

Tomando α = 0,10, y aplicando que χ3;0,05 = 7,815 y χ3;0,95 = 0,352, obtenemos el IC de 14,27
a 317,06.
d) El contraste de...