De moivre

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Fórmula de De Moivre
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La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y enparticular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con latrigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muyútiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos ztal que zn = 1.
Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.
Contenido[ocultar] * 1 Obtención * 2 Derivaciones * 3Demostración por inducción * 4 Generalización * 5 Aplicaciones * 5.1 Potencia * 5.2 Raices * 6 Véase también |
[editar] Obtención
La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula deEuler:

aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler,
.
[editar] Derivaciones
Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

Si hacemos que x = π entonces tenemos lafórmula de Euler:

Es decir:

Además como tenemos estas dos igualdades:

podemos deducir lo siguiente:

[editar] Demostración por inducción
Consideramos tres casos.
Para n > 0, procedemos através de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:Ahora, considerando el caso n = k + 1:

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el...
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