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Instituto Tecnológico De Veracruz

Métodos Numéricos

Catedrático:
Ing. Arguelles Viveros Lorenzo

Unidad II

Temas

* .Método de Bisección

* .Método de la Secante

* .Método del punto fijo

* .Método de la regla falsa

* .Método de Newton - Raphson

MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localizaciónde las raices o ceros de una función continua. Consiste en lo siguiente:
Buscamos por tanteo dos valores "a" y "b" para los que la función tome signos opuestos. Si conseguimos encontrar dos valores que cumplan la condición anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, además, la función es continua en I = [a, b], queda garantizada por el teorema de Bolzano la existencia en el intervalo(a, b) de al menos una raiz. Si ahora tomamos el punto medio del intervalo (x = (a + b)/2) la función en ese punto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendríamos localizada una raiz, o bien en (a + b)/2 toma un valor positivo o negativo. Si f((a + b)/2) < 0, nos fijaríamos ahora en el intervalo
I1 =[(a + b)/2, b] en el que la función es continua y en cuyos extremos toma valores de signosopuestos. El teorema de Bolzano garantiza así la existencia de al menos una raiz en ese intervalo I1 de longitud la mitad de la longitud del intervalo inicial. (Si f((a + b)/2)>0 I1=[a, (a +b)/2]. Se repite el mismo proceso con el intervalo I1, con lo que vamos obteniendo intervalos cada vez más pequeños, dentro de los cuales sabemos que existe una raiz. Podemos así hallar el valor de esa raizcon la aproximación deseada.

El siguiente código para MatLab, Permite la obtención de de las raíces de una función usando el Método de bisección:
function x = biseccion(fun,a,b,tol)
% Aproxima por el método de la bisección una raíz de la ecuación fun(x)=0
disp('Método de la bisección');
u=feval(fun,a);v=feval(fun,b);
n=1;
if sign(u)==sign(v)
disp('Error la función debe cambiar de signo en (a,b)');
end
while ((b-a)*0.5>tol)
c=(b+a)/2; w=feval(fun,c);
disp(['n=', num2str(n)]);
disp(['c=', num2str(c)]);
disp(['f(c)=', num2str(w)]);if sign(u)==sign(w)
a = c; u=w;
else
b=c; v=w;
end
n=n+1;
end;
x=c
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.
Supóngase quequeremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f es continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), ó f(c) y f(b) tienen distinto signo.El algoritmo de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre.
Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b)tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.
* El método de bisección sigue los siguientes pasos:
Sea   continua,
i) Encontrar valores iníciales  ,    tales que    y    tienen signos opuestos, es decir,
  | |
ii) La primera aproximación a la raíz se...
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