Deduccion de Ecuación de Balance de Energia para la Transferencia de Calor por conducción Multidimencional en Terminos de Derivadas Parciales y Estado Transitorio.
Coordenadas Cartesianas:
Elemento de volumen
Considerando un elemento diferencial del rectangulo de longitud Δx, ancho Δy y altura Δz. Tomando en cuenta a ρ como la densidad y C como el peso espeficico. Y añadiendo un pequeño intervalo de tiempo Δt, se puede expresar asi:
Qx+Qy+Qz-Qx+∆x-Qy+∆y-Qz+∆z+Egen,elemento=∆EelementoΔt
Ahora dado que el volumen del elemento es Velemento= ΔxΔyΔz, el cambio en el contenido de energia de dicho elemento y la velocidad de generacion de calor dentro delmismo se pueden expresar como:
∆Eelemento=Et+∆t-Et=mcTt+∆t-Tt=ρc∆x∆y∆zTt+∆t-Tt
Egen,elemento=egenVelement=egenΔxΔyΔz
Sustituyendola en la ecuación de balance de energia:
Qx+Qy+Qz-Qx+∆x-Qy+∆y-Qz+∆z+egenΔxΔyΔz=ρcΔxΔyΔzTt+∆t-Tt∆T
Dividiendo entre el Volumen del elemento obtenemos:
-1ΔyΔz-Qx+Qx+∆xΔx-1ΔxΔz-Qy+Qy+∆yΔy-1ΔxΔy-Qz+Qz+∆zΔz+egen=ρcTt+∆t-Tt∆T
Dado que las áreas de transferencia de calor del elemento para la conducción de ese calor en las direcciones x, y, z son: Ax=ΔYΔZ, Ay=ΔXΔZ, Az=ΔXΔY. Y tomando el limite cuando Δx, Δy, Δz y Δt→0 se obtiene:
∂∂xk∂T∂x+∂∂yk∂T∂y+∂∂zk∂T∂z+egen=ρc∂T∂t
Ec Gral Conduccíon de Calor en Coordenadas Rectangulares
Por ladefinición de la derivada y a partir de la ley de Fourier para la conducción de calor,
lim∆x→∞1ΔyΔz-Qx+Qx+∆xΔx=1ΔyΔz∂Qx∂x=1ΔyΔz∂∂x-kΔyΔz∂T∂t=-∂∂xk∂T∂x
lim∆y→∞1ΔxΔz-Qy+Qy+∆yΔy=1ΔxΔz∂y∂y=1ΔxΔz∂∂y-kΔxΔz∂T∂y=-∂∂yk∂T∂y
lim∆z→∞1ΔxΔy-Qz+Qz+∆zΔz=1ΔxΔy∂Qz∂z=1ΔxΔy∂∂z-kΔxΔy∂T∂z=-∂∂zk∂T∂z
La ecuación general de conduccion de calor en coordenadas rectangulares para el caso de conductividad termica constante es:
∂2T∂x2+∂2T∂y2+∂2T∂z2+egenk=1∝∂T∂t
Donde ∝=kρc es la difusividad termica del material, la ecuación se conoce como ecuación de Fourier-Biot.
Coordenadas cilíndricas
Si partimos de la ecuación
Qx+Qy+Qz-Qx+∆x-Qy+∆y-Qz+∆z+egen∆x∆y∆z=ρc∆x∆y∆zTt+∆t-Tt∆t [continua]

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