Deduccion de formulas para calcular areas

Deducciones de las formulas para calcular las áreas de figuras geométricas poligonales

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Así vamos a dar las primeras definiciones:

Definición 1 (Magnitud): Es todo aquello que se pueda medir.Entre las magnitudes que vamos a usar están las denominadas “magnitudes escalares”, las cuales quedan completamente identificadas dando su valor, que siempre es un número real acompañado de una unidad.

Definición 2 (Línea poligonal): Es la figura plana obtenida trazando segmentos no alineados, de modo que dos segmentos consecutivos tengan sólo un extremo común. Esto lo veremos en la Figura 1 deabajo:

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Figura 1: Línea poligonal. |

Si cada vértice pertenece a dos lados, la poligonal se llama cerrada.

Definición 3 (Polígono): Es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Definición 4 (Cuadrilátero): Es un polígono de cuatro lados.

Por consiguiente, posee también cuatro ángulos interiores, formado por cada dos lados consecutivos. Los vértices deun cuadrilátero son la intersección de cada dos lados y se llaman vértices opuestos a aquellos que no están situados sobre el mismo lado. La diagonal de un cuadrilátero son los segmentos determinados por cada dos vértices opuestos. Ahora, veamos las siguientes definiciones:

Definición 5 (Paralelogramo): Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Definición 6 (Rectángulo): Son losparalelogramos que tiene todos sus ángulos rectos.

Partiendo del cálculo de áreas se puede desarrollar a priori la idea de Medida, usando hechos primitivos conocidos por los griegos, tales como:

(i). El área de un rectángulo de lados y es igual a
(ii). El área de un rectángulo es invariante por traslación.

Donde la Figura 2 nos muestra lo sucedido:

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Figura 2: Rectángulo delongitudes en la base y en la altura |

Demos ahora la siguiente definición:

Definición 7 (Conjunto elemental): Un conjunto se llama elemental si se puede expresar como unión finita de triángulos y rectángulos. Cualquier polígono es un buen ejemplo de un conjunto elemental, esto lo veremos en la Figura 3 de abajo:

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Figura 3: Conjunto elemental. |

Ahora bien, de acuerdo a estosdos hechos primitivos tenemos que un paralelogramo rectángulo de iguales lados como es el caso del cuadrado tiene área igual al producto de sus lados, es decir, lo que vino a ser el lado al cuadrado.

Veamos la Figura 4 de abajo:

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Figura 4: Cuadrado. |

Axioma[1] 1: El área de un conjunto elemental es aditiva.

Esto quiere decir que: Si y son conjuntos elementales tal queintersectado con es vació, un punto o un segmento, entonces el área de unión es igual a la suma del área de mas el área de

Definición 8 (Romboide): Es el paralelogramo que no tiene ni sus ángulos ni sus lados iguales. Comúnmente al romboide se le denomina simplemente paralelogramo o también paralelogramo no rectangular.

Como todo paralelogramo no rectangular (romboide) como en la Figura 5 deabajo y a la izquierda, puede ser transformado en un rectángulo de igual área, aplicando una aprehensión operativa de reconfiguración, esto lo hacemos moviendo el triángulo a la derecha del paralelogramo no rectangular para formar el triángulo aunque el triángulo como figura geométrica no la hemos definido la vamos a usar en esta configuración, porque los dos triángulos van a tener igual área comoveremos más adelante (Observación 2). Ahora, veamos lo ocurrido en la Figura 5 de abajo a la derecha:

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Figura 5: A la izquierda se muestra un paralelogramo no rectangular de longitudes en la base y en la altura A la derecha se le aplica al paralelogramo no rectangular una aprehensión operativa de reconfiguración. |

Y por la propiedad primitiva (ii) vemos que el paralelogramo no...