Definición e interpretación geométrica de la derivada y la integral

LA DERIVADA

* DEFINICIÓN CIENTÍFICA:
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende acero.

* INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto elángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)

Ejemplo:
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en losque la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelastendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla lascoordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

LA INTEGRAL

* DEFINICIÓN CIENTÍFICA:
Básicamente, una integral es una suma de infinitossumandos, infinitamente pequeños y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución, para curvas planas.

* INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
Una de lasnociones fundamentales de la integral representa el área bajo la curva. Veamos como surge esta interesante noción:
  ¿Cómo podríamos calcular el área bajo esta curva?
 

Una noción principalpodría generarse de la forma siguiente:
Tratemos de cubrir toda el área debajo de la curva llenando con círculos, de los cuales conocemos el área.
 
 

Sin embargo, existen espacios que aun no hansido cubiertos y que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos más pequeños.
 

Gráfica de la función en la que la parte de negro no ha sido llenada con círculos aunque...