Definicion de espacio vectorial

DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección [LWJ98], ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.
Supongamos que tenemos unconjunto donde para y escalares cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura
.
.
Propiedad de adición
.
.
contiene al elemento 0 con .
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos comocoeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del .
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial te-nemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todaslas características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más complejos por medio de productos cartesianos [McI99].
4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
En álgebra lineal, un subespacio vectoriales el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Ejemplos
Partiendo del espacio vectorial consistente de todos los vectores reales (a, b), entonces el subconjunto
U = {(a,b):a + b = 0}.
es un subespacio vectorial.
 [Mostrar] Demostración |
Por otro lado, el subconjunto
C = {(a,b):b = a2}
no es unsubespacio vectorial.
 [Mostrar] Demostración |
[editar] Criterio de verificación
Supongamos que U es un subconjunto del espacio vectorial V con las mismas operaciones y que se desea determinar si U es un subespacio vectorial o no.
Dado que la conmutatividad, asociatividad y distributividad de las operaciones en U es inmediata puesto que las operaciones son las mismas, sólo es necesarioverificar las condiciones relacionadas con la existencia del vector nulo y la cerradura de las operaciones.
Todas estas condiciones pueden combinarse en una única verificación:
Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualquiera dos vectores v, w pertecientes a U y cualquier escalar r perteneciente al campo asociado, el vector rv + w estambién un elemento de U. |
[editar] Operaciones con subespacios
Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:
[editar] Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en loscasos en que S este contenido en W o viceversa.
[editar] Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.
[editar] Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.
[editar] Suma directa
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si
Lo que quiere decir tambiénque todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.
[editar] Dimensiones de subespacios
Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.
Por ejemplo, siendo dim(S) = 3 y dim(W) = 2 y teniendo como...