definicion formal

Definición formal
Se define el lenguaje elemental de la teoría de categorías el lenguaje de primer orden de dos tipos, con los objetos y morfismos como distintos tipos de objetos junto con lasrelaciones de un objeto siendo el dominio y el codominio de un morfismo y un símbolo para la composición de dos morfismos.
Sea σ una proposición en este lenguaje. Formamos la proposición dual σop comosigue:
1. Intercambiando cada ocurrencia de "dominio" por "codomonio".
2. Intercambiando el orden en que se componen los morfismos, esto es remplazando cada ocurrencia de por
Informalmente, estascondiciones nos dicen que el dual de una proposición se obtiene al invertir flechas y composiciones.
Dualidad es la observación de que σ es verdadero para alguna categoría C si y solo si σop esverdadero para Cop.
Ejemplos
• Un morfismo es un monomorfismo si entonces . Realizando la operación dual obtenemos la proposición si entonces para un morfismo . Esto es precisamente la definición deque f sea un epimorfismo. En resumen la propiedad de ser monomorfismo es dual a la propiedad de ser epimorfismo.
Aplicando la dualidad, esto significa que un morfismo en una categoría C es unmonomorfismo si y solo si el morfismo opuesto en la categoría Cop es un epimorfismo.
• Otro ejemplo surge al invertir la dirección del símbolo de desigualdad en un conjunto parcialmente ordenado. Así que siX es un conjunto y ≤ es un orden parcial podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤new como
x ≤new y si y solo si y ≤ x.
Este ejemplo en ordenes es un caso especial, como los ordenesparciales pueden ser considerados como una categoría en el cual Hom(A,B) tiene a lo mas un elemento. En aplicaciones a la lógica esto parece ser una descripción muy general de negación (esto es laspruebas van en dirección opuesta). Por ejemplo si tomamos la opuesta de una retícula, obtendremos que el ínfimo y supremo tienen sus papeles intercambiados. Esto es una generalización de las leyes de De...