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COMPENSACIÓN EN ATRASO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA

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Compensación en atraso por el método de respuesta en frecuencia

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M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

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Compensación en atraso por el método de respuesta en frecuencia
Compensadorelectrónico en atraso con amplificadores operacionales

E 0 (s ) R2 R4 R1C1 s + 1 R4 C1 = = E i (s ) R1 R3 R2 C 2 s + 1 R3 C 2

1 1 s+ R1C1 Ts + 1 T = Kc β = Kc 1 1 βTs + 1 s+ s+ R2 C 2 βT R4 C1 β T = R2 C 2 T = R1C1 Kc = R3 C 2 R R RC β= 2 2 Kcβ = 2 4 R1 R3 R1C1 s+

Ésta es una red de atraso si R1C1 < R2 C 2 . La ganancia del compensador en atraso es K c β El compensador tiene un cero en s =−1 T y un polo en s = −1 (βT ) . Dado que β > 1 , vemos que el cero siempre se ubica a la derecha del polo en el eje de frecuencia. El valor máximo de β está limitado por la construcción física del compensador de atraso 1 < β < 17. La función principal de un compensador de atraso es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente alsistema.

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Diagrama de Bode de un compensador en adelanto con K c = 1 y β = 10
⎛ ⎜ s+ 1 1 T Gc (s ) = ⎜ β ⎜s+ 1 ⎜ βT ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

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Ejemplo 1 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
G (s ) = 4K s (s + 2 )

Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones 1. El coeficiente estático de error de velocidad K v = 20 seg −1 2. El margen de fase MF ≥ 50° 3. El margen de ganancia MG ≥ 10 dB

Solución Elcoeficiente estático de error de velocidad del sistema original
K v = lim sG (s ) = lim s
s →0 s →0

4K = 2K s (s + 2 )

Como se desea que K v = 20 seg −1 entonces
2 K = 20 K = 10

El sistema sería
G (s ) = 40 s (s + 2 )

El margen de fase para este sistema es
MF = 17.96° MG = ∞

ω c = 6.17 rad / seg

El ángulo que debe de proporcionar el compensador en atraso φ m = −180° + MFesp + φadic Se consideran 5° como grados adicionales φadic , si se piensa en ubicar el cero del compensador en atraso a una década antes del la nueva frecuencia de transición de ganancia ωm
φ m = 180° + 50° + 5° = −125°

en ω = 1.4 tenemos una defasamiento de -125° y una magnitud de 21.366 dB, ésta será la nueva frecuencia de transición de ganancia ω m = 1.4

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El compensador en atraso deberá proporcionar la ganancia de 21.366 dB
20 log β = 21.366 ⇒

β = 11.703

Se ubica al cero del compensador a una década antes de la nueva frecuencia de transición de ganancia El cero del compensador sería
1 ω m 1. 4 = = = 0.14 T 10 10El polo
1

βT

=

0.14 = 0.012 11.703

El compensador sería
⎛ 1 ⎜ s+ 1⎜ T Gc (s ) = β ⎜s+ 1 ⎜ βT ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ = 1 ⎛ s + 0.14 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 11.703 ⎝ s + 0.012 ⎠ ⎟ ⎠

El ángulo que aporta el compensador en atraso sobre la nueva frecuencia de transición de ganancia ω m = 1.4 es ω ω ∠Gc ( jω ) = tan −1 − tan −1 = 84.289° − 89.509° = −5.22°
0.14 0.012

El sistema compensado es
⎛ 40 ⎞⎛ s + 0.14 ⎞1 G (s )Gc (s ) = ⎜ ⎜ s (s + 2 ) ⎟⎜ s + 0.012 ⎟ 11.703 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝

Para el sistema compensado
MF = 49.79° MG = ∞

ω m = 1.4 rad / seg

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