Definición de espacio vectorial2

Definición de espacio Vectorial

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n−dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n−dimencional ,debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede
usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial. Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, unconjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío dotado de dos operaciones internas:
tal que:
• tenga la propiedad conmutativa, es decir
• tenga la propiedad asociativa, es decir
• tenga elemento neutro 0, es decir
• tenga elemento opuesto, es decir
tal que: • • • • Los elementosde K se llaman escalares.
Los elementos de V se llaman vectores.
DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL
Sea V un espacio vectorial sobre K y no vacío,U es un subespacio vectorial de V si:
• • CONSECUENCIAS
U hereda las operaciones de V como operaciones internas y como consecuencia tenemos que U es un espacio vectorial sobre K. OBSERVACIÓN Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma yproducto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como (x, y) + (0, 0) = (x, y), i.e. la suma de un vector nulo (0, 0) con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva lleva a (a + b) • (x, y) = a • (x, y) + b • (x, y). NOTAS Y DEFINICIÓN ALTERNATIVA El requisito de que la suma de vectores y lamultiplicación por un escalar sean operaciones binarias incluye (por la definición de las operaciones binarias) una propiedad llamada cerradura, es decir, u + v y a v se encuentran en V para todos a, u y v. Algunos autores optan por mencionar estas propiedades como axiomas separados. Las primeras cuatro propiedades hacen referencia a la suma de vectores y se resumen diciendo que el espacio vectorial es ungrupo conmutativo con la suma. El resto de propiedades son equivalentes a la existencia de un homomorfismo de anillos f del cuerpo en el anillo de endoformismos del grupo de vectores. Luego, la multiplicación por un escalar a v se define como (f(a))(v). Esto puede ser visto como el punto de partida de la definición de un espacio vectorial sin referirse al cuerpo. En particular, para cualquier a de, se llama homotecia de razón a al morfismo de . Con estas premisas tenemos la siguiente DEFINICIÓN Se dice que es un espacio vectorial sobre si y sólo si se tiene
, +, *

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalardefinidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Propiedades de vectores

(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V
u ⊕ v ∈ V (1)
Este axioma se conoce como el axioma de...