Definivion matematica de una funcion

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Definición Matemática de una función
Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota
[pic]
y satisface:
1. [pic]
2. Si[pic]
Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota [pic]en vez de [pic].
En algunos textos de matemática se reservala palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen

• El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sealos valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df.
[pic]
Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si [pic]es una función, entonces Df = A
• El codominio de una función [pic]es el conjunto [pic].
Obsérvese quealgunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún [pic]tal que [pic]
• El conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.
[pic]
Por ejemplo, lafunción f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).
• Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Porejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞).

Cantidad de variables

El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función
• [pic]es una funciónescalar
• [pic]es un campo escalar
• [pic]es una función vectorial
• [pic]es un campo vectorial
Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una Relación matemática. Dado un (a,b) puede ocurrir que a = b, pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es (a,b), noa o b en forma individual.

Conceptos para funciones de valor real

Para funciones [pic]tenemos:
• Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.
[pic]
• Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.[pic]
• Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.
[pic]

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas [editar]

• Función inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio. [pic]es inyectiva [pic] ; o lo que es lo mismo: [pic]
•Función sobreyectiva: [pic]es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). [pic]es sobreyectiva [pic]
• Función biyectiva: [pic]es biyectiva si [pic]es inyectiva y sobreyectiva.

|[pic] |[pic] |
|Sobreyectiva, no inyectiva |Inyectiva, no...
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