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Capítulo 13 De la intuición al rigor absoluto (1700-1900)
En el siglo XVIII, comienzan las primeras tentativas de construir un cálculo diferencial e integral sólidamente lógico. Siglo XIX, creación de vastas secciones nuevas de las matemáticas como las teorías de Dedekind y de Cantor; el cálculo de 1700 se transformo en el de 1900, en este periodo se concibieron tres conceptos fundamentalesdel cálculo: número, función y límite. La dirección de la evolución de cálculo ha estado siempre separada de formalismo y de la intuición, aunque ninguna de las dos este todavía extinguida.
El objeto de la introducto es obtener por medios elementales todo lo que sea posible, y que usualmente se obtiene por medio del cálculo diferencial e integral. En el formalismo surgieron dos héroes: eldesarrollo de: ex partiendo del límite (estilo Euler),de ( l+xn)n cuando n tiende a mas infinito, y la importante formula de la trigonometría analítica ex cosx+ i sinx, i≡(-1)21.
Euler produjo una enorme masa de resultados usando únicamente el cálculo formal. Lo mejor que las matemáticas académicas pudieron hacer en la Alemania del siglo XVIII, lo representa el análisis combinatorio en el sentidosuperficial de la manipulación de coeficientes binomicos y multibinomicos.
En el análisis de hoy en día, si nos tomamos el trabajo de ser rigurosos, lo único que nos puede engañar son silogismos o llamamientos a la intuición del numero puro. Hoy día (1900) podemos decir que se ha alcanzado el rigor absoluto.
Capitulo 14 La aritmética racional después de Fermat
La aritmética, según la traducción deFermat, Euler, Lougrange, Legendre y Gauss, se ha ocupado principalmente de los números enteros. El análisis diofántico en sentido de Fermat y de Euler, sufrió un eclipse que debería durar un siglo, hasta que los aritméticos se dieron cuenta de que la teoría de las formas cuadráticas de Gauss para el algebra moderna se relaciona con el desarrollo de la teorías de la estructura.
El primero enapartarse significativamente de la tradición de las formas binarias y ternarias fue Eisenstein en su determinación aritmética. De este modo la aritmética pagó la deuda que tenía contraída con el análisis.
En atrevida técnica de deducir partiendo de dudosas hipótesis representa una nueva tendencia de la aritmética. A parte de la ética matemática; por lo menos puede suceder que al enunciar problemasdifíciles, sin indicar un método de cómo abordarlos, es más perjudicial que ventajoso para el progreso de la aritmética.
En la tercera y cuarta década del siglo XX se inicio una era de la aritmética comparable a la que inauguró Gauss en 1801. Por fin, el análisis, es decir, las matemáticas de la continuidad habían abierto brecha en problemas sobresalientes al dominio de lo discreto.

Capitulo15 Aportaciones de la geometría
Para poder estudiar la geometría, es el ingenio el único camino real que conduce a la geometría elemental, esto puede ser fácil para los que gozan de una imaginación visual, aunque el impresionante número de operaciones de grupo sea 51840, permite ver algo más claramente, esta diferencia es de gustos adquiridos o de capacidad natural.
En 1733 el matemático ylógico jesuita Saccheri completo su obra maestra, Euclides nuevo vindicatus, en la cual emprendió la tarea de demostrar que el sistema geométrico de Euclides es el único posible en la logia y la experiencia. Saccheri murió feliz, sin darse cuenta que había demostrado varios teoremas de dos geometrías nuevas, ambas tan lógicamente como la de Euclides.
El primer antecesor indiscutible de las geometríasno euclidianas fue Gauss. A los doce años se dio cuenta Gauss de que el postulado de las paralelas presentaba un verdadero problema sin resolver, pero hasta después de veinte años no empezó a sospechar que este postulado no se puede deducir de los otros de la geometría euclidiana.
Para alcanzar la precisión deseada simbolizaba partes enteras de la lógica matemática más minuciosamente de lo...
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