Demosraciones

Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas Apunte Nro 0028
CENTRO DE CAPACITACION

DERIVADAS POR DEFINICION

•

Derivada de una constante:

f ( x) = k

lim∆x →0

0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) k−k = lim∆x →0 = lim∆x →0 =0 ∆x ∆x ∆x

• Derivada de x :

f ( x) = x

lim∆x →0

∆x x + ∆x − x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim∆x →0 = lim∆x →0 = lim∆x →0 1 = 1 ∆x ∆x ∆x

•Derivada de la raíz cuadrada de x:

f ( x) =

x

lim∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim∆x → 0 ∆x

x + ∆x − x = lim∆x → 0 ∆x

x + ∆x − x x + ∆x + x x + ∆x − x * = lim∆x → 0 = ∆x x + ∆x + x ∆x . ( x + ∆x + ∆x )

= lim∆x→0

∆x ∆x ( x + ∆x + x )

= lim∆x→0

1 x + ∆x + x

=

1 2 x

• Derivada de 1/x:

f ( x) =

1 x

lim∆x→0

x − ( x + ∆x) 1 1 − x − x − ∆x −∆x −1 −1 x( x +∆x) x + ∆x x = lim = 2 = lim∆x→0 = lim∆x→0 = lim∆x→0 ∆x→0 x( x + ∆x)∆x x( x + ∆x)∆x x( x + ∆x) x ∆x ∆x

Av. Santa Fe 2206 – Piso 2 - Capital Federal C1123AAR - Argentina Horario de atención: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sábado de 9:00 a 21:00 hs. Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Líneas Rotativas) E-mail: info@delfosweb.com.ar Web: www.delfosweb.com.ar

º

Secundarios - CBC -Universitarios - Informática - Idiomas Apunte Nro 0028 • Derivada de x2:
CENTRO DE CAPACITACION

f ( x) = x 2

lim∆x →0

x 2 + 2. x . ∆x + ∆x 2 − x 2 ( x + ∆x ) 2 − x 2 2 . x . ∆x + ∆ x 2 = lim∆x → 0 = lim∆x →0 = ∆x ∆x ∆x

lim∆x →0

(2. x + ∆x). ∆x = lim
∆x

∆x → 0

( 2 . x + ∆x ) = 2 . x

• Derivada de la suma:

f ( x ) = u( x ) + v ( x ) ⇒ f '( x ) = u'( x ) + v'( x )

lim∆x → 0(u( x + ∆x ) + v( x + ∆x )) − (u( x ) + v( x )) = lim u( x + ∆x ) + v( x + ∆x ) − u( x ) − v( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x
u( x + ∆x ) − u( x ) + v ( x + ∆x ) − v ( x ) u( x + ∆x ) − u( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) = lim∆x→0 + lim∆x→0 = u'( x ) + v'( x ) ∆x ∆x ∆x

lim∆x→0

• Derivada de la resta:

f ( x ) = u( x ) − v ( x ) ⇒ f '( x ) = u'( x ) − v'( x )

lim∆x →0

(u( x + ∆x ) − v( x + ∆x )) − (u( x ) − v( x )) = lim u( x + ∆x ) − v( x + ∆x ) − u( x ) + v( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x
u( x + ∆x ) − u( x ) − (v ( x + ∆x ) − v ( x )) ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) − lim∆x → 0 = u'( x ) − v'( x ) ∆x ∆x

lim∆x → 0

= lim∆x → 0

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º

Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas Apunte Nro 0028 • Regla de la cadena:
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[ f ( g( x ))]

′

= f ' ( g ( x )). g'( x )

.
lim∆x→0

f [ g ( x + ∆x )] − f [g ( x )] f [ g ( x + ∆x )] − f [ g ( x )] g ( x + ∆x ) − g ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim∆x→0 = lim∆x→0 . ∆x ∆x ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x )

f [ g ( x + ∆x )] − f [ g ( x )] g ( x + ∆x ) − g ( x ) . lim . = f ′[ g ( x )]. g '( x ) ∆x → 0 ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x )

• Derivada de logaritmo natural de x:

f ( x ) = ln( x )
 A   B

Vamos a usar las siguientes propiedades dellogaritmo: 1) ln( A ) − ln( B ) = ln 2) B .ln( A )

= ln( A B )
x

1  3) limx → 0  1 +  = e  x 4) ln( e ) = 1
 x   x + ∆x    ∆x ln ln + 1    ∆x   ∆x  x ln( x + ∆x) − ln( x) 1  1 = lim∆x→0 .ln1 +  = lim∆x→0 ln1 +  = lim∆x→0 = lim∆x→0 = lim∆x→0 ∆x ∆x ∆x ∆x  ∆x   ∆x   x
1

   1   = lim∆x → 0 ln1 + ∆x      x 

1 x ∆x ∆x ∆x x

∆x ∆x    x      1   = lim∆x → 0 ln1 + ∆x        x      

1 ∆x x

x  x   ∆x   1  1   1 1    = ln e x = ln( e ) = = ln lim∆x → 0 1 + ∆x  x x         x   

1

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