Demostracion del teorema de pitagoras

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China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu
El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b)que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
[pic]
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando lafigura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
[pic]
Ya que [pic].
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más elárea del cuadrado menor:
[pic]
Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]
Sea el triánguloABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuenciadichos triángulos son semejantes.
• De la semejanza entre ABC y AHC:
[pic]

[pic]
• De la semejanza entre ABC y BHC:
[pic]

[pic]

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
[pic]
Pero [pic], por lo que finalmente resulta:
[pic]

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre lassuperficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
[pic]
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
[pic]
[pic]
obtenemos después de simplificar que:
[pic]
pero siendo [pic]la razón de semejanza, está claro que:
[pic]
Es decir, "la relación entre las superficiesde dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
[pic]
que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
[pic](I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
[pic]
[pic]
pero según (I) [pic], así que:
[pic]
y por lotanto:
[pic]
quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales:
• Uno de ellos –centro- está formado por loscuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.
Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c2) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b2 + a2), habiéndose demostrado el teorema...
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