Demostraciones esfericas

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Un volumen esférico puede ser construido por la superposición de infinitas superficies esféricas concéntricas. Cada superficie esférica puede ser construida por la rotación de semicircunferenciasconcéntricas alrededor de un eje. Cada semicircunferencia puede ser construida organizando infinitos puntos que equidisten de un punto llamado centro. El centro de las semicircunferencias es el mismocentro de las superficies esféricas y, por lo tanto, también es el centro del volumen esférico. En la figura se representa a una esfera.
 
En definitiva, una esfera sólida puede construirse rotandoalrededor de un punto llamado centro, otro punto a distintas distancias del primero y en distintas direcciones.
 
Considérese el punto P mostrado en la figura, tiene coordenadas (x, y, z). A estascoordenadas se puede asociar un vector r de componentes [x, y, z] en el sistema de coordenadas rectangulares. Al vector r se le puede expresar con sus componentes en términos de su módulo y su direcciónrespecto a dos de los tres ejes coordenados X, Y, Z.
 
 
 
r es el módulo del vector posición r,  es la dirección que tiene este vector respecto al eje de coordenadas X en el plano Z = 0, y  dala dirección del vector r respecto al eje de coordenadas Z.
En la figura puede observarse que:
x = r Sen( ) Cos( ); y = r Sen( ) Sen( ); z = r Cos( ). (1)
(las ecuaciones (1) son lasecuaciones de definición cartesiana del sistema).

Por lo tanto el vector posición puede ser expresado de la siguiente manera:
  
r = r Sen( ) Cos( ) ex + r Sen( ) Sen( )ey + r Cos( )ez. (2) 
 
Enconsecuencia, un volumen esférico con centro en la intersección de los ejes coordenados puede construirse variando las componentes r,  y  bajo las siguientes condiciones:
 
r >= 0; 0 <= <= 2 ; 0 <=  <=  . (3)
 
Ahora se tiene un nuevo sistema de coordenadas llamado Sistema de Coordenadas Esféricas que consiste en asociar a un punto en el espacio un vector posición r de...