Demostraciones integral riemann

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170 – Matem´ticas I : C´lculo integral en I a a R

Anexo 3: Demostraciones
Integral de Riemann
Demostraci´n de: o Propiedades 264 de la p´gina 142 a

Propiedades 264.- Sea f : [a, b] −→ IR una funci´n acotada. o a) Para toda P ∈ P[a, b], se verifica que L(f, P ) ≤ U (f, P ).

b) Para todas P1 , P2 ∈ P[a, b] con P1 ≤ P2 , se verifica que L(f, P1 ) ≤ L(f, P2 ) c) Para cualesquiera P, Q ∈ P[a,b] , se verifica que Demostraci´n: o a) Como mi ≤ Mi , para todo i, se tiene L(f, P ) =
n i=1

y

U (f, P2 ) ≤ U (f, P1 ) .

L(f, P ) ≤ U (f, Q) .

mi ∆xi ≤

n i=1

Mi ∆xi = U (f, P ).

b) Probaremos s´lo la desigualdad para las sumas superiores (la demostraci´n es an´loga para las sumas o o a inferiores). Supongamos primero que P2 tiene exactamente un punto m´s que P1 , es decir, aP1 = {a = x0 , x1 , . . . , xj−1 , xj , . . . , xn = b} y P2 = {x0 , x1 , . . . , xj−1 , c, xj , . . . , xn } . Si M = sup{f (x) : x ∈ [xj−1 , c]} y M = sup{f (x) : x ∈ [c, xj ]}, se tiene que
j−1

U (f, P2 ) =

i=1

Mi ∆xi + M (c − xj−1 ) + M (xj − c) +

n i=j+1

Mi ∆xi .

Mj = M m M

mj = m

xj−1

c

xj

Fig. 15.1. A˜adir un punto a la partici´n. n o

Como Mj = sup{f(x) : x ∈ [xj−1 , xj ]} , es M ≤ Mj y M ≤ Mj y por tanto
j−1 n

U (f, P2 ) ≤
i=1 j−1

Mi ∆xi + Mj (c − xj−1 ) + Mj (xj − c) +
i=j+1 n

Mi ∆xi

=
i=1

Mi ∆xi + Mj ∆xi +
i=j+1

Mi ∆xi = U (f, P1 ).

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian e

I.T.I. en Electricidad

171 – Matem´ticas I : C´lculo integral en I a a R

Anexo 3

Supongamos ahora que P2 tiene exactamente k puntos m´s que P1. Construimos k particiones del a intervalo [a, b] de forma que cada una de ellas contenga un punto m´s que la anterior, P1 ≤ Q1 ≤ Q2 ≤ a · · · ≤ Qk−1 ≤ P2 . Entonces, U (f, P2 ) ≤ U (f, Qk−1 ) ≤ · · · ≤ U (f, Q2 ) ≤ U (f, Q1 ) ≤ U (f, P1 ). c) Si consideramos P∗ = P ∪ Q, P∗ es una partici´n de [a, b] y se verifica que P ≤ P∗ y Q ≤ P∗ . Usando o las propiedades b), a) y b) en las desigualdadessiguientes, se tiene L(f, P ) ≤ L(f, P∗ ) ≤ U (f, P∗ ) ≤ U (f, Q). Demostraci´n de: o Propiedades 268 de la p´gina 143 a

Propiedades 268.- Sean f, g: [a, b] −→ IR integrables en [a, b] , λ ∈ IR y a < c < b . Entonces
b b b

1.- f + g es integrable en [a, b] y
a b

(f + g) =
a b

f+
a

g.

2.- λf es integrable en [a, b] y
a

λf = λ
a

f.

3.- f integrable en [a, b] si, y s´losi, f es integrable en [a, c] y [c, b]. o
b c b

En ese caso,
a

f=
a

f+
c

f.

Demostraci´n: o 1.- Como f y g son integrables en [a, b], existen P1 y P2 particiones de [a, b], tales que U (f, P1 )−L(f, P1 ) < ε ε 2 y U (g, P2 ) − L(g, P2 ) < 2 ; luego tomando Pε = P1 ∪ P2 , al ser mas fina que P1 y P2 , se verifica que
n

U (f, Pε ) − L(f, Pε ) =
i=1

(Mi − mi )∆xi <

ε 2n

U (g, Pε ) − L(g, Pε ) =
i=1

(Mi − mi )∆xi <

ε . 2

Sea Pε = {x0 < x1 < · · · < xn }, y sean mi y Mi el inferior y superior de f + g en [xi−1 , xi ]. Entonces, como mi ≤ f (x) ≤ Mi y mi ≤ g(x) ≤ Mi , se tiene que mi + mi ≤ f (x) + g(x) ≤ Mi + Mi , luego que mi + mi ≤ mi ≤ Mi ≤ Mi + Mi . En consecuencia,
n n

U (f + g, Pε ) − L(f + g, Pε ) =
i=1 n

(Mi − mi )∆xi ≤
i=1 n

(Mi+ Mi ) − (mi + mi ) ∆xi (Mi − mi )∆xi <
i=1

=
i=1

(Mi − mi )∆xi +

ε ε + = ε. 2 2

2.- Basta con tener en cuenta que U (λf, P ) − L(λf, P ) = λ U (f, P ) − L(f, P )

y usar que f es integrable.

3.- Sea ε > 0 . Si f integrable en [a, b] existe Pε ∈ P[a, b] tal que U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε . A˜adiendo, si no est´, el punto c a Pε obtenemos la partici´n de [a, b] n a o P = {a = x0, x1 , . . . , xi−1 , c, xi , . . . , xn = b} m´s fina que Pε , luego se verifica que U (f, P ) − L(f, P ) ≤ U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε . a Tomando P1 = {a, x1 , . . . , xi−1 , c} , partici´n de [a, c] y P2 = {c, xi , . . . , b} , partici´n de [c, b], se verifica o o que L(f, P ) = L(f, P1 ) + L(f, P2 ) y, por tanto, U (f, P ) − L(f, P ) = (U (f, P1 ) − L(f, P1 )) + (U (f, P2 ) − L(f, P2 )) < ε....
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