Dereho

3.8 Ejercicios resueltos

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3.8.

Ejercicios resueltos

3.8.1 Una sucesión (an )n se dice que es contractiva si existe 0 < c < 1 tal que para todo n ∈ N se verifica |an+1 − an | ≤ c|an − an−1 |. Demuestre que las sucesiones contractivas son de Cauchy. Solución: Sea m > n entonces haciendo uso de la desigualdad triangular y de la estimación |an+1 − an | ≤ c|an − an−1 | se tiene |an − am| ≤ |an − an+1 | + |an+1 − an+2 | + · · · + |am−1 − am | ≤ |an − an+1 |(1 + c + c2 + · · · + cm−n ) [progresión geométrica] 1 − cm−n+1 1 = |an − an+1 | ≤ |an − an+1 | 1−c 1−c Por otra parte |a2 − a3 | ≤ c|a1 − a2 |, |a3 − a4 | ≤ c|a2 − a3 | ≤ c2 |a1 − a2 | y en general es sencillo obtener por inducción que |an − an+1 | ≤ cn−1 |a1 − a2 | de donde se tiene |an − am | ≤ cn−1 |a1 − a2 | siempre quem > n. 1−c 1−c |a1 − a2 |

Como l´ n cn = 0, fijado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n0 ≤ n se tiene ım cn < ε y por tanto |an − am | ≤ cn−1 |a1 − a2 | 1 − c |a1 − a2 | n0 + 1. Así pues (an )n es de Cauchy. 3.8.2 Demuestre que para cualquier sucesión (xn )n∈N de números reales que converja hacia 0, siendo |xn | < 1 y xn = 0, se cumple log(1 + xn ) = 1, n→∞ xn l´ ım exn − 1 = 1. n→∞ xn l´ ım (3.1)Aplique lo anterior para probar que si l´ n (xn ) = 1 y l´ n yn = +∞ entonces ım ım
ım l´ (xn )yn = el´ n yn (xn −1) ım n

(3.2)

supuesto que el segundo límite exista. 101

102

Sucesiones numéricas

Solución: Comencemos por el primero de los límites de (3.1) y supongamos que 0 < xn < 1 para todo n. Se tiene l´ ım n→∞ log(1 + xn ) = n→∞ log (1 + xn )1/xn l´ ım xn y 1 n = l´ log 1+ ım [haciendo 1/xn = yn ] n→∞ yn y 1 n [usando la prop. 3.5.7 ] = log n→∞ 1 + l´ ım yn = log e = 1 [usando la prop. 3.7.1]

Cuando 0 > xn > −1 la prueba es idéntica (en esta situación l´ n yn = −∞). ım Para el caso general en el −1 < xn < 1 los términos de la sucesión se reparten en dos sucesiones disjuntas, una, (x′n )n , que contenga los términos positivos y la otra, (x′′ )n , losnegativos. Entonces puesto que n l´ ım n→∞ log(1 + x′n ) = 1, x′n l´ ım n→∞ log(1 + x′′ ) n =1 x′′ n

se llega a la conclusión de que
n→∞

l´ ım

log(1 + xn ) = 1. xn

El segundo límite de la fórmula (3.1) puede reducirse al primero mediante el cambio de variable yn = exn − 1 ya que entonces exn − 1 yn l´ ım = l´ ım =1 n→∞ n→∞ log(1 + yn ) xn puesto que l´ n yn = 0. ım Pasemos a la aplicación.Como (xn )yn = eyn log xn = eyn log(1+(xn −1)) usando la proposición 3.5.4 se tiene
ım l´ (xn )yn = el´ n yn log(1+(xn −1)) ım n

supuesto que este segundo límite exista. Pero sabemos que l´ yn log(1 + (xn − 1)) = l´ yn (xn − 1) ım ım
n n

log(1 + (xn − 1)) = l´ yn (xn − 1) ım n (xn − 1)

ya que l´ n (xn − 1) = 0. Se tiene así probada la fórmula (3.1). ım 102

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3.8.3 Estudie el límite de la sucesión (sn )n∈N cuyos términos son: H1 = 1, H2 = 1 + 1/2, H3 = 1 + 1/2 + 1/3, . . . Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n Solución: Esta sucesión es conocida como la serie armónica (en inglés «Harmonic»). Es claro que se trata de una sucesión monótona creciente. En consecuencia o está acotada superiormente, en cuyo caso tiene por límite un número real(proposición 3.2.2), o no lo está, en cuyo caso su límite es +∞. ¿Cómo determinar cuál de los dos casos se da? El primer caso se da si y sólo si la sucesión es de Cauchy (teorema 3.4.3). Por tanto el límite será +∞ si y sólo si la sucesión no es de Cauchy, que es lo que ocurre como vamos a ver. Recordemos que una sucesión es de Cauchy si para cada ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que siempre que n, m ≥ n0 secumple |Hn − Hm | < ε. Por tanto, negar que la sucesión es de Cauchy significa demostrar que hay al menos un ε0 > 0 de manera que para cada n0 que tomemos siempre existen números n, m ≥ n0 de modo que |Hn − Hm | ≥ ε0 . Veamos que tomando ε0 = 1/2 se cumple la última desigualdad para ciertos n, m ≥ n0 cualquiera que sea el n0 elegido. Tomemos n = n0 y hagamos m = n0 + k para cierto k ∈ N que luego...