Derivacion numerica

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La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definiciónla derivada de una función f(x) es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrás:

La aproximación de la derivada poreste método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
Diferenciascentrales:

Derivación Numérica
 
Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (yen ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algúntrazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando elpolinomio interpolante de Lagrange.
Fórmulas de tres y cinco puntos
Supongamos que son puntos en un intervalo y que . Si es el polinomio interpolador de Lagrange entonces

 
para alguna . Alderivar esta expresión y evaluar en algún (de los puntos ) obtenemos

 
Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de -puntos para aproximar . Ahora lo que vamos a hacer es, a partir de aquí, obtenerfórmulas útiles de tres y cinco puntos.
En lo que sigue vamos a suponer que  los son igualmente espaciados, es decir suponemos que

Por ejemplo, si entonces
Fórmulas de tres puntos
Supongamosque solo tenemos tres datos igualmente espaciados,es decir, con . Aplicando la fórmula anterior con  tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres...
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