Derivacion
Páginas: 22 (5426 palabras)
Publicado: 19 de agosto de 2013
Julián Moreno Mestre
www.juliweb.es
Academia las Rozas
www.academialasrozas.com
Ejercicios para aprender a derivar
Derivación de polinomios y series de potencias
Reglas de derivación:
f ( x) = k → f ' ( x) = 0
f ( x) = ax → f ' ( x) = a
f ( x) = ax n → f ' ( x) = anx n −1
f ( x) = u ( x) + v( x) → f ' ( x) = u '+ v'
Ejemplos:
f ( x) = 4 → f ' ( x) = 0
f ( x) = x → f' ( x) = 1
2
f ( x) = x 4 + 4 → f ' ( x) = 4 x 3
f ( x) = 3x → f ' ( x) = 6 x
5
3
4
f ( x) = 3 x − x → f ' ( x) = 15 x − 3 x
2
f ( x) =
x9 x 7
9 x8 7 x 6
−
→ f '( x) =
−
7
7
5
5
Ejercicios:
1º Derive las siguientes funciones polinómicas:
x
b) f ( x) = + 7 x 4
a) f ( x) = x3 + 5 x 20 + 2 x
5
2
d) f ( x) = x + 4
e) f ( x) = 6 x 7 + 5 x 2 + 5
5x6
−3x5 − 2
6
j) f ( x) = x −2 + 4 x −5
5 4
m) f ( x) = +
x 5
Sol:
g) f ( x) =
x4
+ x5 − 2 x 2
4
k) f ( x) = x −1 − x −2
1 5
n) f ( x) = 3 + 2
x x
h) f ( x) =
x 4 − 3x
4
5
f) f ( x) = 4 x + x 3 + 4
c) f ( x) =
i) f ( x) = π x 2 + 3x3
l) f ( x) = x −4 + 2 x −3
1
1
ñ) f ( x) = 2 + 10
x
x
d) f ' ( x) = 2 x
1
b) f '( x) = + 28 x3
5
e) f '( x) = 42 x 6 + 10 xg) f '( x) = 5 x5 − 15 x 4
h) f '( x) = x3 + 5 x 4 − 4 x
j) f '( x) = −2 x −3 − 20 x −6
k) f '( x) = − x −2 + 2 x −3
i) f '( x) = 2π x + 3 3x 2
l) f '( x) = −4 x −5 − 6 x −4
m) f ' ( x) = −5 x −2
n) f '( x) = −3x −4 − 10 x −3
ñ) f '( x) = −2 x −3 − 10 x −11
a) f '( x) = 3 x 2 + 100 x19 + 2
2º Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones:
a) f ( x) = 7 x5/ 4− 8 x1/ 2
b) f ( x) = x 2 / 3 + 4 x 5 / 4
d) f ( x) = x 2 + 5 x
e) f ( x) = −2 7 x 2 + 9 x 2
3
4
4
f) f ' ( x) = 20 x + 3 x 2
c) f '( x) = x3 −
c) f ( x) = 3 x1/ 3 + 4 x1/ 4
f) f ( x) =
3 4 5
x
Sol:
35 1/ 4
x + 4 x −1/ 2
4
x −4 / 5
d) f ' ( x) = 1 +
5
a) f '( x) =
2 −1/ 3
c) f '( x) = − x −2 / 3 + x −3/ 4
x + 5 x1/ 4
3
x −119 /120
4 x −5/ 7 2 x −7 / 9e) f '( x) = −
+
f) f '( x) =
7
9
120
b) f '( x) =
–1–
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Derivación de potencias de funciones
Reglas de derivación.
f ( x) = au n → f ( x) = anu ' u n −1
Ejemplos:
f ( x) = ( x 2 + x ) → f '( x) = (6 x + 3) ( x 2 + x )
3
2
f ( x) = (3x + x 2 )100 → f '( x) = 100(3 + 2 x)(3 x + x 2 )99f ( x) = ( x 3 + x 2 + 1)6 → f '( x) = 6·(3 x 2 + 2 x)·( x3 + x 2 + 1)5
f ( x) = (4 x 3 + 5 x 2 + 7)15 → f '( x) = 15·(12 x 2 + 10 x)·(4 x3 + 5 x 2 + 7)15
(x
f ( x) =
(x
f ( x) =
3
− 2x)
3
4
+ 4 x3 + 6 )
15
5
8
(2x
+
3
− 2)
14
→ f '( x) =
6
5
15·( 5 x 4 + 12 x 2 )·( x 5 + 4 x 3 + 6 )
→ f '( x) =
8
3·( 3 x 2 − 2 )·( x 3 − 2 x )
42
+
6·( 6 x 2 )( 2 x3 − 2 )
5
5
Ejercicios:
3º Derive las siguientes funciones con paréntesis:
a) f ( x) = ( x + 1)
d)
(x
f ( x) =
4
7
− 3x 2 )
2
b) f ( x) = ( x + 3 x + 5)
g) f ( x) = ( 2 x + 7 x )
j)
(x
f ( x) =
3
e) f ( x) = (4 x 7 / 2 + 3)
+ 7 x 2 − 5)
m) f ( x) = ( 5 x 2 − 3 x )
6
k)
(5x
f ( x) =
4
+ 3x −2 )
512
n) f ( x) = ( 4 x 6 − x )
5/ 2
Sol:
a) f '( x) = 7( x + 1)6
⎛ x7
⎞
c) f '( x) = 4 x + 3 3 x ⎜ + 3 x 3 ⎟
⎝ 7
⎠
2
)
e) f ' ( x) = 5 (14 x 5 / 2 )(4 x 7 / 2 + 3)
g) f '( x) = −5·( 6 x 2 + 7 )( 2 x 3 + 7 x )
i) f ( x) = ( x 6 + 3x 4 − 5 x )
3⎛ x 1 ⎞
l) f ( x) = ⎜ + ⎟
5⎝ 4 x⎠
8
3
7/3
3
d) f '( x) =
3
h) f '( x) = 7 ( 6 x 2 − 12 x −5 )( 2 x3 + 3x −4 + 2 )
−6
6
5 ( 20 x 3 − 6 x −3 )·( 5 x 4 + 3 x
12
3/ 2
5
m) f '( x) = ·(10 x − 3)·( 5 x 2 − 3 x )
2
2
( 4 x3 − 6 x )( x 4 − 3x2 )
3
f) f ' ( x) = e(2 x − π x π −1 )( x 2 − x π ) e−1
5 −1
i) f '( x) = 8 ( 6 x + 12 x − 5 )( x + 3 x − 5 x ) j) f '( x) =
k) f '( x) =
7
b) f ' ( x) = 3(2 x + 3)( x 2 + 3 x + 5) 2
6
5
f) f ( x) = ( x 2 − xπ )e
5...
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Derivación de polinomios y series de potencias
Reglas de derivación:
f ( x) = k → f ' ( x) = 0
f ( x) = ax → f ' ( x) = a
f ( x) = ax n → f ' ( x) = anx n −1
f ( x) = u ( x) + v( x) → f ' ( x) = u '+ v'
Ejemplos:
f ( x) = 4 → f ' ( x) = 0
f ( x) = x → f' ( x) = 1
2
f ( x) = x 4 + 4 → f ' ( x) = 4 x 3
f ( x) = 3x → f ' ( x) = 6 x
5
3
4
f ( x) = 3 x − x → f ' ( x) = 15 x − 3 x
2
f ( x) =
x9 x 7
9 x8 7 x 6
−
→ f '( x) =
−
7
7
5
5
Ejercicios:
1º Derive las siguientes funciones polinómicas:
x
b) f ( x) = + 7 x 4
a) f ( x) = x3 + 5 x 20 + 2 x
5
2
d) f ( x) = x + 4
e) f ( x) = 6 x 7 + 5 x 2 + 5
5x6
−3x5 − 2
6
j) f ( x) = x −2 + 4 x −5
5 4
m) f ( x) = +
x 5
Sol:
g) f ( x) =
x4
+ x5 − 2 x 2
4
k) f ( x) = x −1 − x −2
1 5
n) f ( x) = 3 + 2
x x
h) f ( x) =
x 4 − 3x
4
5
f) f ( x) = 4 x + x 3 + 4
c) f ( x) =
i) f ( x) = π x 2 + 3x3
l) f ( x) = x −4 + 2 x −3
1
1
ñ) f ( x) = 2 + 10
x
x
d) f ' ( x) = 2 x
1
b) f '( x) = + 28 x3
5
e) f '( x) = 42 x 6 + 10 xg) f '( x) = 5 x5 − 15 x 4
h) f '( x) = x3 + 5 x 4 − 4 x
j) f '( x) = −2 x −3 − 20 x −6
k) f '( x) = − x −2 + 2 x −3
i) f '( x) = 2π x + 3 3x 2
l) f '( x) = −4 x −5 − 6 x −4
m) f ' ( x) = −5 x −2
n) f '( x) = −3x −4 − 10 x −3
ñ) f '( x) = −2 x −3 − 10 x −11
a) f '( x) = 3 x 2 + 100 x19 + 2
2º Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones:
a) f ( x) = 7 x5/ 4− 8 x1/ 2
b) f ( x) = x 2 / 3 + 4 x 5 / 4
d) f ( x) = x 2 + 5 x
e) f ( x) = −2 7 x 2 + 9 x 2
3
4
4
f) f ' ( x) = 20 x + 3 x 2
c) f '( x) = x3 −
c) f ( x) = 3 x1/ 3 + 4 x1/ 4
f) f ( x) =
3 4 5
x
Sol:
35 1/ 4
x + 4 x −1/ 2
4
x −4 / 5
d) f ' ( x) = 1 +
5
a) f '( x) =
2 −1/ 3
c) f '( x) = − x −2 / 3 + x −3/ 4
x + 5 x1/ 4
3
x −119 /120
4 x −5/ 7 2 x −7 / 9e) f '( x) = −
+
f) f '( x) =
7
9
120
b) f '( x) =
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Derivación de potencias de funciones
Reglas de derivación.
f ( x) = au n → f ( x) = anu ' u n −1
Ejemplos:
f ( x) = ( x 2 + x ) → f '( x) = (6 x + 3) ( x 2 + x )
3
2
f ( x) = (3x + x 2 )100 → f '( x) = 100(3 + 2 x)(3 x + x 2 )99f ( x) = ( x 3 + x 2 + 1)6 → f '( x) = 6·(3 x 2 + 2 x)·( x3 + x 2 + 1)5
f ( x) = (4 x 3 + 5 x 2 + 7)15 → f '( x) = 15·(12 x 2 + 10 x)·(4 x3 + 5 x 2 + 7)15
(x
f ( x) =
(x
f ( x) =
3
− 2x)
3
4
+ 4 x3 + 6 )
15
5
8
(2x
+
3
− 2)
14
→ f '( x) =
6
5
15·( 5 x 4 + 12 x 2 )·( x 5 + 4 x 3 + 6 )
→ f '( x) =
8
3·( 3 x 2 − 2 )·( x 3 − 2 x )
42
+
6·( 6 x 2 )( 2 x3 − 2 )
5
5
Ejercicios:
3º Derive las siguientes funciones con paréntesis:
a) f ( x) = ( x + 1)
d)
(x
f ( x) =
4
7
− 3x 2 )
2
b) f ( x) = ( x + 3 x + 5)
g) f ( x) = ( 2 x + 7 x )
j)
(x
f ( x) =
3
e) f ( x) = (4 x 7 / 2 + 3)
+ 7 x 2 − 5)
m) f ( x) = ( 5 x 2 − 3 x )
6
k)
(5x
f ( x) =
4
+ 3x −2 )
512
n) f ( x) = ( 4 x 6 − x )
5/ 2
Sol:
a) f '( x) = 7( x + 1)6
⎛ x7
⎞
c) f '( x) = 4 x + 3 3 x ⎜ + 3 x 3 ⎟
⎝ 7
⎠
2
)
e) f ' ( x) = 5 (14 x 5 / 2 )(4 x 7 / 2 + 3)
g) f '( x) = −5·( 6 x 2 + 7 )( 2 x 3 + 7 x )
i) f ( x) = ( x 6 + 3x 4 − 5 x )
3⎛ x 1 ⎞
l) f ( x) = ⎜ + ⎟
5⎝ 4 x⎠
8
3
7/3
3
d) f '( x) =
3
h) f '( x) = 7 ( 6 x 2 − 12 x −5 )( 2 x3 + 3x −4 + 2 )
−6
6
5 ( 20 x 3 − 6 x −3 )·( 5 x 4 + 3 x
12
3/ 2
5
m) f '( x) = ·(10 x − 3)·( 5 x 2 − 3 x )
2
2
( 4 x3 − 6 x )( x 4 − 3x2 )
3
f) f ' ( x) = e(2 x − π x π −1 )( x 2 − x π ) e−1
5 −1
i) f '( x) = 8 ( 6 x + 12 x − 5 )( x + 3 x − 5 x ) j) f '( x) =
k) f '( x) =
7
b) f ' ( x) = 3(2 x + 3)( x 2 + 3 x + 5) 2
6
5
f) f ( x) = ( x 2 − xπ )e
5...
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