derivación




RESOLUCION



1.



La primera derivada representa una expresión que al evaluar en cualquier punto me va a dar la pendiente de la recta tangente de la gráfica en ese punto evaluado.Si el problema me está pidiendo hallar los puntos de la función f (en verdad f no es función sino que solamente representa un lugar geométrico como lo veremos al graficar) donde la recta tangente af sea horizontal entonces tengo que derivar una vez y la primera derivada igualar a cero (una recta horizontal tiene pendiente = 0)






Ahora reemplazamos en la ecuación original.Evaluando ambos valores en y´, podemos darnos cuenta que cuando x=0, , por lo que no puede existir y´en x=0. Si evaluamos con x=1 obtemos que y=1, lo que si representa una respuesta esperada.
Entoncesel punto donde la recta tangente es horizontal es en (1,1)

Esto lo podemos comprobar al graficar en graphmatica (obviamente esto es solo para que ustedes vean que lo calculado es cierto).Graficando f obtenemos




Podemos darnos cuenta además que f no es función sino que solamente es una ecuación que representa un lugar geométrico.
Vemos que en (1,1), la recta tangente a la curva eshorizontal
Vemos también que en (0,0) la recta tangente a la curva es vertical por lo que tiene pendiente infinita.
Todo esto lo calculamos analíticamente al igualar la primera derivada a cero.
Ojoque las respuestas que obtuvimos inicialmente (al reemplazar x=y en la ecuación original) x=1 y x=0 tuvimos que evaluar en la expresión y´ para ver si efectivamente eran respuestas lógicas.
Tuvimosque rechazar la respuesta x=0 porque esa era una respuesta trivial de la ecuación y en ese punto la pendiente mas bien se hacía infinita.



2.

Para hallar la pendiente de la recta tangente auna curva en punto cualquiera (Xo,Yo), hay que derivar una vez (LA PRIMERA DERIVADA REPRESENTA LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRAFICA) y evaluamos la primera derivada...