Derivada De La Función Exponencial

Derivada de la Función Exponencial
Sabemos que e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base por la derivada del exponente

Derivada de la Función Exponencial de Base e

La derivada de la función exponencial de basee es igual a la misma función por la derivada del exponente.

Ejemplos

1)

2)

3)

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Derivada de la Función Logarítmica

La derivada de un logaritmo en base es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Derivada de un logaritmo Neperiano

La derivada de un logaritmo neperiano es igual a la derivada de lafunción dividida por la función.

Ejemplos

Aplicaciones de las Derivadas

1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye larentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación queresulta:
R`(x)=0 ,
 
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
                   f

| | | |
| | | |

                   f ´               +       200    -
Se toma un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
 
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
c) La máxima rentabilidad es R(200)=-0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

2. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas  y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución
Para que la función  tenga unmáximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
 V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando  t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver  quien  es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)=t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15
     0        1                       5             6        
V’        +    0          -        0        +
Luego V crece desde 0 a1  y desde 5 a 6, (crece en  (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)

3. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que...