Derivada direccional

Derivada Direccional. Vector Gradiente. Propiedades
Introducción: De la clase anterior hemos aprendido que para aplicar regla de la cadena para derivar una función de varias variables se tiene que si w=w(x,y,z) y x,y, y z dependen de t, la derivada de w respecto a t es:
dw/dt=∂w/∂x dx/dt+∂w/∂y dy/dt+∂w/∂z dz/dt
En esta oportunidad introduciremos una nueva notación, más concisa la cual seexpresa de la siguiente manera:
dw/dt=∇w∙(dr ⃗)/dt
Donde ∇w=〈w_x,w_y,w_z 〉 y (dr ⃗)/dt=〈dx/dt,dy/dt,dz/dt〉 es el vector velocidad
Se han escrito las expresiones en términos del Gradiente ∇w de la función w.

Gradiente de una función
Definición: Si w es una función de tres variables x,y y z, entonces el gradiente de w es la función vectorial ∇w definida como:
∇w=〈w_x 〖,w〗_y 〖,w〗_z 〉
Estoes el vector gradiente en el punto (x,y,z).
El propósito de conocer el gradiente se centrará en saber cómo se mide este vector, qué significa y qué se puede hacer con él.
A continuación veamos una de las principales propiedades del gradiente de una función.
Teorema:
El gradiente ∇w es ortogonal (normal) a la superficie de nivel de w (w=c) a través del punto P.
Esto quiere decir, en el caso detener w=w(x,y), que dadas las curvas de nivel de la superficie, el gradiente de la función es perpendicular a la curva de nivel en un punto P(x,y), el gradiente es un vector. Lo mismo sucede si tenemos una función de tres variables, el gradiente de la función w=w(x,y,z) es perpendicular a la superficie de nivel.
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo: Sea w=a_1 x+a_2 y+a_3 z, el gradiente de wviene dado por:
∇w=〈a_1,a_2,a_3 〉
La superficie de nivel correspondiente a esta función se obtiene si hacemos w=c, c constante, esto es:
a_1 x+a_2 y+a_3 z=c
Esta ecuación representa la ecuación de un plano y se observa que lo correspondiente al vector normal al plano, el vector 〈a_1,a_2,a_3 〉, viene a ser el gradiente encontrado.
Ejemplo: Sea w=x^2+y^2, las curvas de nivel para estafunción pueden observarse en la siguiente figura:



Las curvas de nivel son círculos de ecuación x^2+y^2=c, El gradiente de w es:
∇w=〈2x,2y〉
Lo cual representa un vector en dirección del vector posición del punto (x,y), desde el punto (x,y) hacia afuera.
Demostración del teorema:
Nos interesa saber que sucede sobre la curva de nivel. Supongamos que se tiene un punto que se mueve a lo largo dela curva de nivel o de la superficie de nivel, esto es P(x,y)ó P(x,y,z). Se sabe que en la curva la función w es constante.
Sea r ⃗=r ⃗(t), la parametrización de la curva sobre la superficie de nivel (Ver figura).

Luego, si w(r ⃗(t))=c derivemos respecto a t, esto es
∂w/∂x dx/dt+∂w/∂y dy/dt+∂w/∂z dz/dt=0
Si nos movemos a lo largo de la curva S, en cada punto el vector velocidad r^' (t)es tangente a la curva, como también lo es a la superficie de nivel.
De acuerdo a lo dicho en la introducción, luego de aplicar regla de la cadena se sabe que:
dw/dt=∇w∙(dr ⃗)/dt
Y como w(t)=c se tiene que
∇w∙(dr ⃗)/dt=0
Ahora, de acuerdo al teorema que expresa que dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a cero, se tiene que el gradiente ∇w y vector velocidad (dr ⃗)/dtson perpendiculares. (dr ⃗)/dt puede ser cualquier vector tangente a la superficie de nivel.

Derivada Direccional
Se sabe que las razones de cambio de w=w(x,y,z) en las direcciones de x,y, y z en un punto P(x,y,z) viene dadas por w_x,w_y,w_z respectivamente. Con la definición del gradiente se puede calcular la razón de cambio de w en P en una dirección arbitraria; tal dirección estarádeterminada por un vector u ⃗.
Observe la siguiente figura:

Primer acercamiento al cálculo de la razón de cambio de w=w(x,y,z)
en la dirección del vector unitario u ⃗.

La razón promedio de cambio de w con respecto de la distancia entre P y Q es
(w(Q)-w(P))/|(PQ) ⃑ | =∆w/∆s
Donde ∆s=|(PQ) ⃑ |=|v ⃗ | es la distancia de P a Q. Entonces
dw/ds=lim┬(∆s→0)⁡〖∆w/∆s=∇w∙u ⃗ 〗 (1)
Por otro lado,...