Derivada Direccional

GRADIENTE, DERIVADAS DIRECCIONALES Y PLANO TANGENTE

VECTOR GRADIENTE.

Definición 4.1 (Vector Gradiente) Sea f : D ⊆ Rn −→ R una función (o campo) escalar diferenciable en una región R, entonces la función (o campo) gradiente de f es la función
vectorial ∇ f : R ⊆ Rn −→ R definida por

∇ f (x1 , x2 , ..., xn ) = ( fx1 (x, y), fx2 (x, y), ..., fxn (x, y))
En el caso f : D ⊆ R2−→ R

∂ f →
∂ f →−

∇ f (x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y)) = ∂x i + ∂y j

En el caso f : D ⊆ R3 −→ R

∂ f →−

∂ f →−

∂ f →−

∇ f (x, y, z) = ( fx (x, y, z), fy (x, y, z) fz (x, y, z)) = ∂x i + ∂y

j + k
∂z

DERIVADA DIRECCIONAL

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0 , y0 ) en la direc-

ción de un vector unitario arbitrario

→−u = (a,b) , para esto consideremos la superficie

S con ecuación z = f (x, y) (la gráfica de f ) y sea z0 = f (x0 , y0 ) . Entonces el punto
P = (x0 , y0 , z0 ) está sobre S . El plano vertical que pasa por el punto P en la dirección del

vector

→−u interseca a la superficie S en la curva C . La pendiente de la recta tangente T a

la curva C en el punto P es la tasa de cambio de z en ladirección del vector

→−u .




0 , z0)

T

P=(x0 , y

Z

S

b u a
X

Si Q = (x, y, z) es otro punto sobre la curva C , y sean P0 y Q0 las proyecciones sobre el

plano xy de los vectores P y Q , entonces el vector −P−0→Q0 es paralelo al vector
consiguiente

→−u , y por

Q T

P
Z

S

b u
a P‘ Q‘

X

−P−0→Q0 = h →−u = (ha, hb)

para algúnescalar h . Así pues,

x − x0 = ha =⇒ x = x0 + ha y − y0 = hb =⇒ y = y0 + hb

y la razón de cambio está dada por

∆z = z − z0

= f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0 , y0 )

h h h

y al tomar el límite cuando h −→ 0 obtenemos la tasa de cambio instantánea de z (con

respecto a la distancia) en la dirección de

→−u , la cual se llama derivada direccional de f

en la dirección de→−u .

Definición 4.2 (Derivada direccional) Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función escalar y sean

P = (x0 , y0 ) ∈ D y

→−u = (a, b) un vector unitario, entonces la derivada direccional de f

en P = (x0 , y0 ) en la dirección del vector

→−u , está dada por :

D →−u f (P) = D →−u f (x0 , y0 )
= lim f (P + h →−u ) − f (P)
h→0 h

= lim f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0 , y0 )
h→0 hObservación: Al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direc-

cional, podemos notar que si

→−u = (1, 0) entonces D →−u f (P) = fx (P) y si

→−u = (0, 1)

entonces D →−u f (P) = fy (P) , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales
en la dirección de los vectores canónicos.

EJEMPLO 2

Calcule la derivada direccional de f (x, y) = 4 −x2 − y2 en el punto P = (1, 1, 2) en la
µ 1 1 ¶

dirección del vector

Solución.

→−u =

√2 , √2

Usando la definición de derivada direccional, tenemos que :

DERIVADA DIRECCIONAL 5


f µ1 + h , 1 + h ¶

f (1, 1)

√ √ −
D →−u f (1, 1) = lim 2 2

h→0
µ

h
h ¶2 µ

h ¶2

4 − 1 + √ −

1 + √ − 2

= lim 2 2

h→0µ

h
h ¶2 µ

h ¶2

2 − 1 + √ −

1 + √

= lim 2 2

h→0

h
µ h ¶2


= lim
h→0

2 − 2

1 + √2
h

y usando la regla de L’Hôpital

2
µ h ¶ 1 4

lim −4

1 + √ √ = − √ = −2√

h→0

2 2 2


Esto nos dice que la razón de cambio de z en P en la dirección del vector

→−u es −2√2 ,

es decir, que z en esta dirección estadecreciendo. En la figura 4.3 se ilustra esta situación.

P

Y

1

X
Figura 4.3 Tangente en P tiene pendiente −2√2.

Observación: la definición de derivada direccional es válida en general para funciones de n variables f : D ⊂ Rn −→ R .

6 GRADIENTE, DERIVADAS DIRECCIONALES Y PLANO TANGENTE

Con propósitos de cálculo, la definición de derivada direccional no es muy...