Derivada Usando La Regla De La Cadena

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Derivadas Usando la Regla de la Cadena DERIVADA USANDO LA REGLA DE LA CADENA La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función compuesta se conoce como "Regla de la cadena". Regla de lacadena:

Si y = f (u ), u = g ( x), y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, es decir, dy du y existen, entonces la función compuesta definida como y = f ( g ( x) ) = f g du dx tiene derivada definida así: dy dy du = = f ´(u ).g´( x) = f ´( g ( x) ) . ( g´( x) ) dx du dx
Derivada externa Derivada interna

Recuerda entonces las reglas de derivación y extiéndelas ala regla de la cadena
Si Si y = xn → y = un → dy d n = ( x ) = n.x n −1 dx dx dy d n du = ( u ) = n.u n −1. u´= n.u n −1. dx dx dx

Hallar la derivada de cada una de las funciones usando la regla de la cadena

Ejemplo 1: f ( x ) = ( x 2 + 5 x )

100

Solución: Aplicando la regla de la cadena
f ´( x) = Dx ( x 2 + 5 x )
100

= 100 ( x 2 + 5 x ) Dx ( x 2 + 5 x ) = 100 ( x 2 + 5 x )
9999

( 2 x + 5)

Ejemplo 2: f ( x) =

1

( 3x − 1)

4

Solución: Aplicando la regla de la cadena Lcdo. Eliezer Montoya Página 1

Derivadas Usando la Regla de la Cadena

  1 −4 f ´( x) = Dx   = Dx ( 3 x − 1) 4  ( 3 x − 1)   
= −4 ( 3 x − 1)
−4 −1

.Dx ( 3 x − 1) = −4 ( 3 x − 1) −12

−5

( 3) =

= −12 ( 3 x − 1) =

−5

( 3x − 1)

5

Podemos ver en azul lafunción interna, por tanto al derivar una función compuesta, calculamos la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.

Ejemplo 3: y = ( x 2 + 5 x )

3

Solución: Aplicando la regla de la cadena
 du  = 2 x + 5 u = x 2 + 5 x   dx y = ( x2 + 5x ) ⇒   ⇒ 3 y = u   dy = 3u 2   du    2 dy dy du = = 3u 2 ( 2 x + 5 ) = 3 ( x 2 + 5 x ) ( 2 x + 5 ) = ( x 4+ 10 x 3 + 25 x 2 ) ( 6 x + 15 ) = dx du dx = 6 x5 + 60 x 4 + 150 x3 + 15 x 4 + 150 x 3 + 375 x 2 = 6 x 5 + 75 x 4 + 300 x 3 + 375 x 2
3

Ejemplo 4: y = x 2 + 1 Solución: Aplicando la regla de la cadena
 du   dx = 2 x  u = x + 1   y = x2 + 1 ⇒  ⇒ 1/ 2  y = u = u   dy = 1 u −1/ 2 = 1     du 2 2 u  
2

dy dy du 1 2x = = .2 x = = dx du dx 2 u 2 x2 + 1

x x +1
2

→ Dxu =

Dx u 2 u

Ejemplo 5: h( x ) = sin 3 x = ( sin x )

3

Solución: Aplicando la regla de la cadena
h '( x ) = Dx ( sin x ) = 3 ( sin x )
3 3−1

Dx ( sin x ) = 3sin 2 x.cos x

Lcdo. Eliezer Montoya

Página 2

Derivadas Usando la Regla de la Cadena

Ejemplo 6: g ( x ) = sin x 3 = sin ( x 3 ) Solución: Aplicando la regla de la cadena
g´( x ) = Dx ( sin x 3 ) = cos x 3 Dx ( x 3) = 3 x 2 cos x 3

Con lo antes expuesto, podemos generalizar las siguientes reglas de derivación

Dx sin u = cos u.Dx u Dx cos u = − sin u.Dx u

Dx tan u = sec 2 u.Dx u Dx cot u = − csc u.Dx u
10

Dx sec u = sec u.tan u.Dx u Dx csc u = − csc u.cot u.Dx u

2

Ejemplo 7: g (t ) = ( t 2 + 6t )

(1 − 3t )

4

Solución: Aplicando la regla de la cadena: -Recuerde la regla de laderivada de dos
funciones Dx ( u.v ) = ( Dx u ) .v + ( Dx v ) .u

g´(t ) = Dt ( t 2 + 6t )  

10

(1 − 3t )

4

  

10 10 4 4 =  Dt ( t 2 + 6t )  . (1 − 3t ) +  Dt (1 − 3t )  . ( t 2 + 6t )      

= 10 ( t 2 + 6t ) Dt ( t 2 + 6t ) . (1 − 3t ) + 4 (1 − 3t ) Dt (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t ) = 10 ( t 2 + 6t ) ( 2t + 6 ) . (1 − 3t ) + 4 (1 − 3t ) ( −3) . ( t 2 + 6t ) = 10 ( t 2 +6t ) ( 2t + 6 ) . (1 − 3t ) − 12 (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t )
3 = 2 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) 5 ( 2t + 6 ) (1 − 3t ) − 6 ( t 2 + 6t )    9 9 4 3 10 9 4 3 10

9

4

3

10

 = 2 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t )  −36t 2 − 116t + 30     = −4 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) 18t 2 + 58t − 15
9 3

9

3

Ejemplo 8: y = e x

2

+5 x + 6

Solución: Aplicando la regla de la cadena

Lcdo....
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