Derivada

Derivada  parcial
 La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a [pic] fija y otra según cambia [pic], dejando a y fija.
Suponga que dejamos variar sólo a [pic], dejando a [pic]fija, digamos [pic], endonde [pic]es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable [pic], a saber [pic]. Si [pic]tiene una derivada en [pic]entonces la llamamos la derivada parcial de [pic]con respecto a [pic]en [pic]. De forma análoga podemos hacerlo para [pic]variable y [pic]fija.
 
|  | Definición  (derivada parcial)|
|  |Sea [pic]una función de dos variables y sea [pic], entonces la derivada parcial de [pic]con respecto a [pic]en|
| |[pic]es |
| |[pic] |
| ||
| | |
| |siempre y cuando el límite exista. |
| |De forma similar definimos la derivada parcial de [pic]conrespecto a [pic]en [pic]por |
| |[pic] |

Observación: los límites de la definición   son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôpital, etc.

Ejemplo 1
Usando ladefinición de derivada parcial calcule [pic]para [pic]
Solución
Usando la definición tenemos que:

[pic]

Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:

[pic]

[pic]

Ejemplo 2
Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto [pic]es [pic]. Además, suponga que [pic]e [pic]estánmedidas en metros y la temperatura [pic]en grados centígrados. ¿Cómo varía la temperatura [pic]en el punto [pic]cuando [pic]permanece fijo en [pic]?, ¿Qué significa esto ?

Solución
Del ejemplo 1 tenemos que [pic]con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura [pic]en el punto [pic]es de 8 grados centígrados por metro, cuando [pic]esta fijo en [pic]. El hecho de que sea positiva nos indicaque la temperatura [pic]de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta [pic]hacia [pic].
Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función [pic]de una variable que obtenemos al fijar alguna de las variables [pic]o [pic], su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable.
Para calcular[pic], considere a [pic]como una constante y derive a [pic]con respecto a [pic].
Para calcular [pic], considere a [pic]como una constante y derive a [pic]con respecto a [pic].

Ejemplo 3
Calcule la derivada parcial [pic]para [pic]y también calcule [pic]
Solución
Usando la regla para la derivada del cociente

[pic]

con lo cual [pic].

Ejemplo 4
Calcule [pic]y [pic], si [pic]estádefinido implícitamente como una función de [pic]e [pic], mediante la siguiente ecuación

[pic]

Solución
Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a [pic], que:

[pic]

Y al despejar [pic], obtenemos que:

[pic]

De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a [pic], obtenemos da

[pic]

Ejemplo 5
Calcule [pic]para la función [pic]...