Derivada

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CAPÍTULO

5
La derivada

1

5.2 La derivada de una función
A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un límite que está estrechamente ligado a la recta tangente, a la velocidad instantánea y en general a la razón de cambio de una variable con respecto a otra. f .x/ f .x0 / , lo denominamos la derivada de la funciónf en el punto x0 x!x0 x x0 y decimos que la función f es derivable en el punto x0 . Al límite lím f .x/ x!x0 x f .x0 / lo denotamos por f 0 .x0 /. Es decir: x0 f 0 .x0 / D lím f .x/ x!x0 x f .x0 / : x0

Cuando existe el límite lím

Alternativamente si hacemos x x0 D h [una translación de coordenadas en que el nuevo origen es el punto .x0 ; 0/] o sea x D x0 C h, podemos escribir: f 0 .x0 / Dlím f .x0 C h/ h!0 h f .x0 / :

A veces se usa x (incremento de x) en lugar de h; también se usa y en lugar de f .x0 C x/ f .x0 / en cuyo caso: y f 0 .x0 / D lím : x!0 x
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I Si no existe f 0 .x0 /, afirmamos que la función f no es derivable en x0 o bien que la función f no tiene derivada en x0 Otras notaciones paraf 0 .x0 / son: df .x/ dx A la razón y def f .x/ D x x ,
xDx0

df dx

,
xDx0

dy dx

, y 0 .x0 / :
xDx0

f .x0 / f .x0 C h/ D x0 h

f .x0

se le denomina cociente diferencial.

Ejemplo 5.2.1 Demostrar que la función f .x/ D 3x 2 H Demostraremos la existencia de f 0 .x0 / D f 0 .2/:

4x

5 es derivable en x0 D 2.

f .x0 C h/ f .x0 / ) h!0 h f .2 C h/ f .2/ Œ3.2 C h/2 4.2C h/ 5 0 ) f .2/ D lím D lím h!0 h!0 h h 3.4 C 4h C h2 / 8 4h 5 12 C 8 C 5 D lím D h!0 h 12 C 12h C 3h2 12 4h 8h C 3h2 D lím D lím D h!0 h!0 h h h.8 C 3h/ D lím D lím .8 C 3h/ D 8 C 3.0/ D 8 I h!0 h!0 h 0 f .2/ D 8 : f 0 .x0 / D lím

Œ3.2/2

4.2/



D

Luego f 0 .2/ existe, por lo cual f es una función derivable en x0 D 2. Además la derivada de f en x0 D 2 es f 0 .2/ D 8. Ejemplo5.2.2 Si f .x/ D 4 x 2 , usando la definición de derivada, calcular f 0 .a/. Calcular también, usando lo anterior, f 0 . 2/ y comprobar que f 0 .1/ D 2. H Calculamos el cociente diferencial: f .x/ x f .a/ .4 x 2 / .4 a2 / 4 x 2 4 C a2 x 2 C a2 D D D D a x a x a x a .x 2 a2 / .x a/.x C a/ D D D .x C a/ si x a ¤ 0, esto es, si x ¤ a: x a x a f 0 .a/ D lím

Concluimos con esto que f 0 .x/ D 2

f .x/ f.a/ D lím Œ .x C a/ D 2a: x!a x!a x a Hemos demostrado por lo tanto que, en todo punto Œa; f .a/ D .a; 4 a2 /, la función es derivable y su derivada es f 0.a/ D 2a. 2x para x 2 R .

Así:

5.2 La derivada de una función Usando este resultado, tenemos que f 0 . 2/ D 4I f 0 .1/ D 2: p 2x C 1. Encontrar f 0 .a/ con a 2 Df D 1 ; C1 . 2

3

Ejemplo 5.2.3 Sea f .x/ D

H Calculamos elcociente diferencial del cual obtendremos el límite: p p p p p p 2x C 1 2a C 1 2x C 1 2a C 1 2x C 1 C 2a C 1 f .x/ f .a/ p p D D D x a x a x a 2x C 1 C 2a C 1 2.x a/ .2x C 1/ .2a C 1/ p p p p D D D .x a/. 2x C 1 C 2a C 1/ .x a/. 2x C 1 C 2a C 1/ 2 p si x a ¤ 0, esto es, si x ¤ a. Dp 2x C 1 C 2a C 1 Así: f 0 .a/ D lím f .a/ 2 p D D lím p x!a a 2x C 1 C 2a C 1 2 2 1 p Dp D p Dp : 2a C 1 C 2a C 1 2 2a C 12a C 1 f .x/ x!a x

Esta última expresión sólo tiene sentido si 2a C 1 > 0, es decir, si a >

1 1 . Vemos que 2 Df , pero 2 2 1 ahí la función f no es derivable; de hecho ni siquiera está definida a la izquierda de . 2 Ejemplo 5.2.4 Demostrar que la función g.x/ D j x j no es derivable en el origen. H Demostraremos la no existencia de g 0 .x0 / en x0 D 0. g.x/ g.x0 / ) x!x0 x x0 g.x/ g.0/ jx jj0j jxj ) g 0 .0/ D lím D lím D lím D‹ x!0 x!0 x!0 x x 0 x g 0 .x0 / D lím

Calculamos los límites laterales lím Límites, ejemplo ??. 1. x ! 0
x!0

jx j jxj & lím . Recuerde que ya lo hicimos en el capítulo C x x x!0

) x < 0 ) jx j D

x ) lím jxj x D lím D lím . 1/ D x!0 x x!0 x 1:

x!0

2. x ! 0C ) x > 0 ) j x j D x )
x!0C

lím

jxj x D lím D lím 1 D 1 : x!0 x x!0 x 3

4...
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