Derivada

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Definición de Derivada
Def.Sea f una función definida en un intervalo abierto I y sea x a un punto en I. Diremos que f es derivable en a si

Derivada
existe.
1

lim
ho0

f( a  h )  f( a ) h

2

Nota:
1. Si f es derivable en x

a al valor del límite se denomina

Ejemplos.
Ejemplo 1. Sea f la función definida por f( x ) Calcular, si existe, f ' (1). x3.

derivada de f en ay se denota con f ' (a). Es decir: f( a  h )  f( a ) f ' (a) = lim h ho0 f( a  h )  f( a ) 2. representa la razón de cambio promedio con que h se produce el cambio en f(x) a partir de f( a ) hasta alcanzar f( a  h ) . 3. Al valor del lim
ho0

Ejemplo 2. Repetir el ejercicio anterior para f( x ) x0 2

1 x2

y

f( a  h )  f( a ) se denomina tambien razón de h

cambio Instantanea3 4

Ejercicios
Encuentre la razón de cambio instantánea para f en el punto dado para cada uno de los siguientes casos:
a) b) f( x ) f( x ) x  1 , x0
2

Observación. Interpretación Geométrica:
La recta que pasa por los puntos
P0 [ a, f( a ) ] , P1

Secantes

[ a  h, f( a  h ) ].

tiene pendiente
m f( a  h )  f( a ) h

1 1

x , x0

luego, la recta que pasa por lospuntos P0 y P1 tiene ecuación
ª f( a  h )  f( a ) º » (x  a) f( a )  « « » h ¬ ¼ Nota: Diremos que tal recta es secante a la gráfica de f en los puntos P0 y P1 . y
5 6

Recta Tangente
Se puede ver que a medida que el punto P1 se aproxima al punto P0 , es decir cuando h o 0 , las rectas secantes resultantes tienden a una recta " limite" cuya característica principal es que, en una vecindad dex = a, la gráfica de f y la gráfica de esta recta tienen un punto en común, [ a, f( a ) ]. Tal recta límite la llamaremos Recta Tangente a la gráfica de f en [ a, f( a ) ].
7 8

Como la pendiente de cada una las rectas secantes esta dada por
mh f( a  h )  f( a ) h

Def.

( recta tangente ).

entonces la pendiente mT de la recta tangente es
mT lim
ho0

Sea f una función definidaen un abierto I que contiene al punto x = a. Llamaremos Recta Tangente a la gráfica de f en el punto (a, f( a )) a la recta de ecuación
y donde mT lim
ho0

f( a  h )  f( a ) h

( si el límite existe)

f( a )  mT( x  a ) f( a  h )  f( a ) h

y la ecuación que la representa esta dada por
y f( a )  mT ( x  a ) si el límite existe.

9

10

Nota.Si f es derivable en x a, lagráfica de f en el punto (a, f( a )) admite una recta tangente cuya pendiente es f ' (a). Esto es, la de ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f( a )) es: y f( a ) + f ' (a) (x - a)

Ejercicio
Sea f( x )
2 , x z 0 . Se pide : x x0 2.

x Determinar la razón de cambio instantánea para f en

Observar que
mT Vinst = lim
xoa

f( x )  f( a ) = f '(a) xa

xDeterminar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en [ 2, f( 2 ) ] . x Representar gráficamente la recta tangente junto con la gráfica

de f en el mismo sistema de ejes coodenados

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12

Ejercicio Use la definición para encontrar, en x =1, la derivada de f (x) = x . Además, encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta tangente a la gráfica de f en ( 1, f(1)) que pasapor el punto de tangencia.
Solución:

Nota : Llamaremos Recta Normal a la gráfica de f en el punto P a la perpendicular , por P, a la tangente a la gráfica en P > plot([2/x,2-x/2],x=-0.5..5,y=-.5..3,color=black)
13 14

Ejercicios Varios

1. Pruebe que la función definida por f(x) = x2/3 no es derivable en x = 0.
¿ f es derivable en x0 1?

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Teorema.2. Pruebe que la funciónf(x) = |x| no es derivable en x0 pero si lo es en cada punto x0 z 0. 0, Si la función f es derivable en x0, entonces es continua en x0.
Dem.

Nota.Por contrarreciproco, si f no continua en x0 entonces f no es derivable en x0

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Respuesta

Ejemplo1.Pruebe que la función definida por f( x ) := { no es derivable en x0=1 ¿ f es derivable en x0=0 ? x2  2 x 2 x xd1 1x

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20...
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