Derivada

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LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Derivada de una función f (x) : Es la función denotada por f ′ (x) y definida por:
f ′ ( x ) = lím
h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) h

Siempre que el límite exista. OBSERVACIÓN: • Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.

• Función diferenciable: Una función cuya derivada existe dentro de su dominio. •Diferenciación: El proceso de encontrar la derivada de una función. • Diferentes formas de representar la derivada de una función y = f (x) :
f ′ ( x) ; d [ f ( x)] ; dy ; y′ ; Dx y ; Dx [ f ( x)] , y en el punto P( x1 , y1 ) : dx dx f ′ ( x1 ) ; dy dx

x = x1

; y ′ ( x1 )

Ejemplos: 1. Sea la función f definida por f ( x) = 2 x − 3 . Obtenga la derivada de f. Solución:
f ′ ( x) = lím
h→0

[ 2( x + h ) − 3] − ( 2 x − 3) =
h

lím
h→ 0

2 x + 2h − 3 − 2 x + 3 2h = lím = lím( 2 ) = 2 h→ 0 h h→ 0 h

2. Dada la función f definida por Solución:
f ′ ( x ) = lím

f ( x) = x 3 + 4 , calcule su derivada.

+ 4 − x3 + 4 x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h3 + 4 − x 3 − 4 = lím = lím 3x 2 + 3 xh + h 2 = 3 x 2 h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h 3. Para la función f definida por f ( x) = 2 − x ,determine su derivada en x=2 y x= -2.

[( x + h )

3

] (

)

(

)

Solución:
2 − ( x + h) − 2 − x 2− x− h − 2− x 2− x− h + 2− x = lím h→ 0 h→ 0 h h 2− x− h + 2− x ( 2 − x − h ) − ( 2 − x ) = lím − h −1 1 = lím = lím = − h→ 0 h h→ 0 h h→ 0 2− x− h + 2− x 2− x− h + 2− x 2− x− h + 2− x 2 2− x f ′ ( x ) = lím

(

(

)(

)

)

(

)

(

)

Ahora:
f ′ (− 2) = − 1 2 4 = − 14 f ′ (2) →

no está definida (no es diferenciable)

Determinación de la ecuación de la recta tangente a una curva y = f (x) en un punto dado
P ( x1 , y1 ) :

1. Encontrar f ′ ( x1 ) que es la pendiente de la curva en el punto P( x1, y1 ) , es decir la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. 2. Aplicar la expresión para encontrar la ecuación de una recta en su forma puntopendiente: y − y1 = m( x − x1 ) .
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y = Solución:
dy dx dy dx y− 6 6 − f ( x + h) − f ( x ) 6 x − 6( x + h) −6 6 = lím = lím x + h x = lím = lím = − 2 h→ 0 h→ 0 h→ 0 h → 0 x ( x + h) h h hx( x + h) x 3 = m x= 2 = − 2 3 3 3 = − ( x − 2) → y = − x + 6 o también 3 x + 2 y − 12 = 0 2 2 6 en el punto P(2,3) . x

Reglas de diferenciación:Hipótesis: f ( x) y g ( x) son funciones diferenciables; c es una constante y n un número real. 1. Dx (c) = 0 4. Dx [ f ( x) + g ( x)] = f ′ ( x) + g ′ ( x) n n− 1 2. Dx ( x ) = nx 5. Dx [ f ( x) − g ( x)] = f ′ ( x) − g ′ ( x) 3. Dx [ cf ( x)] = cf ′ ( x)

2

Ejemplos:
f ′ ( x ) = 2 Dx ( x 3 ) − 5 Dx ( x 2 ) + Dx (7) = 2(3 x 2 ) − 5(2 x) + 0 = 6 x 2 − 10 x dy 1 − 2/3 1 1/ 3 3 = 3 2 2. y =3 + x → dx = Dx (3) + Dx ( x ) = 0 + 3 x 3 x 3 4 1/ 2 − 1/ 2 − 2/3 3. g ( x) = 5 x − x + 3 2 → g ′ ( x) = 5Dx ( x ) − 3Dx ( x ) + 4 Dx ( x ) x 5 3 2 1   1   2  g ′ ( x ) = 5 x − 1 / 2  − 3 − x − 3 / 2  + 4 − x − 5 / 3  = + − 2   2   3  2 x 2 x 3 33 x 5
3 2 1. f ( x) = 2 x − 5 x + 7



2 4. h( p) = 5 p 3 p + 2 p − 

 

7   . Evaluar h′ (1) p 

Solución:
3  1  h ′ ( p ) = 15 D p ( p 3 ) + 10 D p ( p 3 / 2 ) − 35 D p ( p − 1 / 2 ) = 15(3 p 2 ) + 10 p 1 / 2  − 35 − p − 3 / 2  2   2  35 35 155 h ′ ( p ) = 45 p 2 + 15 p + → h ′ (1) = 45 + 15 + = 3 2 2 2 p

5. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva: y = Solución:
y = 2 x − 3x − 1 → y ′ = 2 − 3( − x − 2 ) = 2 + → y− 3 x2 → →

4x 2 − 6 2x

en

x = 2.

y ′ (2) = 2 + y=3 11 = = m 4 4

si x = 2 , y =

16 − 6 5 = 4 2

5 11 = ( x − 2) 2 4

11 x − 3 o 11x − 4 y − 12 = 0 4

La derivada como razón de cambio.
∆y  ∆ x es la razón de cambio promedio de y con respecto a x en [ x, x + ∆ x ]    dy = lím ∆ y es la razón de cambio instantánea de y con respecto a x  dx ∆ x → 0 ∆ x 

Definición: si y = f ( x) →

El intervalo [ x, x + ∆ x ] se puede...
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