Derivada

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DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Definición:

log a b = c ⇔ a c = b ; a > 0 y a ≠ 1 , b > 0 c ∈ R

Abreviaciones: log e u = ln u ; log10 u = log u ; (log a u ) n = log n u a Propiedades de la función logaritmo: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log b u =
log a u log u ln u = = log a b log b ln b

4. log a (uv) = log a u + log a v 5. log a
u = log a u − log a v v

6. log a u n = nlog a u Derivada la Función logaritmo: 1 Si x > 0 →
D x (ln x ) = 1 x D x (ln u ) = 1 du g ′ ( x) , o de otra forma: Dx [ ln g ( x ) ] = u dx g ( x)

2 Si u = g ( x) > 0 es diferenciable → Ejemplos 1
f ( x) = − 3 ln x → 3  1 f ′ ( x) = ( − 3)  = − x  x

2

y=

ln x → x2 + 3

 1 ( x 2 + 3)  − ln x (2 x) x + 3 − 2 x ln x  x x y′ = = 2 2 ( x + 3) ( x 2 + 3) 2 10 x  2x  g ′ (x) = 5 2 = 2  x − 3 x − 3 1

3

g ( x) = 5 ln( x 2 − 3) →

4

 − 6x 2  6x 4  + ln(3 − 2 x 3 ) (2 x) = − h( x) = x 2 ln(3 − 2 x 3 ) → h ′ ( x) = x 2  + 2 x ln(3 − 2 x 3 ) 3  3 − 2x 3  3 − 2x  

[

]

5

3  2 / 2x  y = 3ln(ln 2 x) → y′ = 3  =   ln 2 x  x ln 2 x f ( x) = ln 2 x + 7 = ln ( 2 x + 7 )
1/ 2

6 7

= (1/ 2)ln(2 x + 7) → f ′ ( x) =

2 1 = 2(2 x + 7)2 x + 7

f ( p ) = ln  (3 p − 1)(2 p + 5)3 (3 − p)5  = ln(3 p − 1) + 3ln(2 p + 5) + 5ln(3 − p)  

f ′ ( p) =

3 6 5 + − 3p − 1 2 p + 5 3 − p
3

8

2 − x2 5  2 − x 2  5 2 2 w = 5ln 2 = ln  2  =  ln(2 − x ) − ln( x + 3)    x + 3 3  x + 3 3 − 10 x ( x 2 + 3) − 10 x ( 2 − x 2 ) dw 5  − 2 x 2x  10 x 10 x = − = − − = dx 3  2 − x 2 x 2 + 3  3 ( 2 − x 2 ) ( x 2 + 3) 3 ( 2 − x2 ) ( x 2 + 3)   dw − 10 x3 − 30 x − 20 x + 10 x 3 − 50 x = = 2 2 dx 3 ( 2 − x ) ( x + 3) 3 ( 2 − x 2 ) ( x 2 + 3)

9

f ( x ) = 7ln (3x − 1) = 7 [ ln(3 x − 1) ]
4

4

3  3  84ln (3 x − 1) → f ′ ( x) = 28 [ ln(3x − 1) ]  = 3x − 1  3x − 1  3

10

y = 3log 2 x 2 = 6log 2 x = y = log ( 3x − 5 x

6ln x dy 6  1 6 → =  = ln 2 dx ln 2  x  x ln 2 → y′ = 3 − 10 x 3 − 10 x = 2(ln10) ( 3x − 5 x ) x ( 3 − 5 x ) ln10 50 , en donde p ln(q + 7)

11

2

)=

ln ( 3 x − 5 x 2 ) ln10

12 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p =

es el precio unitario y q son las unidades demandadas. Evalúa el ingreso marginal cuando la demanda es de 8 unidades.
2

r = pq =

50q dr → = ln(q + 7) dq

[ ln(q + 7)] 50 − 50q  q + [ ln(q + 7)]
2

 1  7 

=

50ln15 −

( ln15)

50(8) 15 = 14.8272 2

es decir, $14.83/unidad adicional.

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Definición: Si y = e x ⇔ ln y = x ;

y = a u ⇔ log a y = u , a > 0

y

a≠ 1 .

Es decir, la función exponencial es la inversa de la función logarítmica. Propiedades de la Función Exponencial: 1. eln x = x 2. l n(e x ) = x 3. a u = eu ln a Derivada dela Función Exponencial: 1. Dx (e x ) = e x
u u 2. Si u = g ( x) es diferenciable → Dx (e ) = e

du es decir: Dx  e g ( x )  = e g ( x ) g ′ ( x )   dx du , siendo a > 0 y a ≠ 1 dx

u u 3. Si u = g ( x) es diferenciable → Dx (a ) = a (ln a )

Ejemplos
x 1. y = 10e →

y′ = 10 Dx ( e x ) = 10e x y′ = 7e x (5) − 5 x(7e x ) 35e x − 35 xe x 35e x (1 − x) 35(1 − x) = = = (7e x ) 2 49e 2 x49e 2 x 49e x
3

2. y =

5x 7e x



x 3. f ( x ) = e

5

− 4 x3

→ = 8e x
3/ 2

f ′ ( x) = e x →

5

− 4 x3

( 5x

4

− 12 x 2 ) = x 2 ( 5 x 2 − 12 ) e x

5

− 4 x3

4. g ( x) = 8e x

x

g ′ ( x) = 8e x

3/ 2

( 3 ) x1/ 2 = 12 2

xe

x3

= 12 x e x

x

3t + 5 2 5. w = 2e ln(3t + 11) →

dw  6t   2 3t + 5 = ( 2e3t + 5 )  2  +  ln(3t + 11) ( 6e )  dt  3t + 11 

dw 12te3t + 5  2t  = 2 + 6e3t + 5 ln(3t 2 + 11) = 6e3t + 5  2 + ln(3t 2 + 11)  dt 3t + 11  3t + 11  e2q − 3 = → 6. f ( q) = 2 q e +3 f ′ (q ) = f ′ (q ) =

(e

2q

+ 3) ( 2e2 q ) − ( e 2 q − 3) ( 2e2 q )

(e
2q

2q

+ 3)

2

2e 4 q + 6e2 q − 2e4 q + 6e 2 q

(e

2q

+ 3)

2

=

(e

12e 2 q

+ 3)

2

7. y = ln e x

2

−6...
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