Derivada

Derivada de una función
Concepto:
Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene la variable “a”. Entonces, la derivada de “f” en a, denotada por ‚f’(a) esta dada por:
f’(a)= Lím (f(a+h)-f(a))/h si este limite existe
h→0
el símbolo f’(a) se lee “ f prima de a”. la frase “f’(a)”existe y quiere decir que el límite en la definición existe. Si f’(a) existe, entonces, “f es derivable en a”, “f es diferenciable en a” o “f tiene una derivada en a”.
es importante notar que si “f es derivable en a”, entonces, por la definición “f’(a)” es la pendiente de la recta tangente a la grafica f en el punto [ a , f(a)].
Una función “ f es derivable “ en un intervalo abierto ( a , b ),si es derivable en todo numero c de (a, b).
Notación de la derivada de una función
f’(x) se lee: f prima de x
y’ se lee: derivada de y
dy/dx se lee: derivada de y con respecto a x
Dx y se lee: la derivada con respecto a x de y.
Dx f(x) se lee: la derivada con respecto a x de f.
(d(f(x)))/dx se lee: la derivada de f(x) conrespecto de x
El proceso para hallar la derivada de una función se llama derivación.
Teoremas sobre diferenciación de funciones algebraicas
La operación para encontrar la derivada de una función se llama diferenciación, la cual puede efectuarse al aplicar la definición.
Regla de la constante
La derivada de una constante es cero.
d/dx[c] = 0 ; donde c es un numero real.
Ejemplo:
F(x) = 5 ;f’(x) = 0

Reglas de las potencias
Si n es un número racional,
d/dx[Xn] = nXn-1
La derivad de una potencia será dad por:
Ejemplo:
d/dx[ X3] = 3X3-1 = 3x2

Regla de múltiplo constante
Si f es una constante de variable z, c un numero real, entonces,
d/dx[cf(x)] = cf’(x)
Ejemplos:
1. Y = 2x2
y’ = 2(2)x2-1
y’= 4x

2. y = 2/x
y = 2x-1
y’ = 2(-1)x-1-1y’ =-2x-2
y’ = (-2)/x^2

Regla de la suma o diferencia
La derivada de una suma o de una diferencia de dos funciones derivables es la suma o la diferencia de sus derivadas.
d/dx[ f(x) ± g(x)] = d/dx[ f(x)] ± d/dx [g(x)]
Ejemplo
f(x) =x2 – 4x + 6
f’= d/dx [ x2 ] – d/dx [4x] + d/dx [6]
f’ = 2x – 4-

Regla del producto
la derivada de dos funciones derivables f y g es al mismotiempo, derivable. Además de la derivada de f y g es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la derivada de la primera por la segunda.
d/dx [f(x).g(x)]=f(x).g’(x)+f’(x).g(x)
Ejemplo:
Sea f(x) = x2 -1 y g(x) = 2x -4
d/dx [f(x).g(x)]=d/dx [ ( x2 -1 ).(2x -4)]
= [ ( x2 – 1)(2x- 4)’]+[(x2 – 1 )’(2x -4 )]= [ ( x2 – 1 )(2)] + [ ( 2x)(2x -4)
= 2x2 -2 + 4x2 – 8x
= 6x2 -8x -2


Regla de un cociente
d/dx=(f(x))/(g(x))=([f’(x)g(x)]-[f(x)g’(x)])/([g(x)]^2 )

Sea p(x) = (5x-2)/(x^2+1) , P’(x).

P’(x) = ((5x-2)’ (x^2+1)-(5x-2)(x^2+1)’)/[x^2+1]^2

P’(x) =((5)(x^2+1)-(5x-2)(2x))/[x^2+1]^2

P’(x)=(5x^2+5-10x^2+4x)/[x^2+1]^2

P’(x) =(-5x^2+4x+5)/[x^2+1]^2














Actividad N04
Resuelva los siguientes problemas de la derivada.

1. f(x) = -3x6 + 2x3 + 3

2. f(x) = -4 +2x-1/2 x^3 - 7x2

3. f(x) = 5/x +2/x^2 - 5/x^3

4.f(x) = ( x2 – 4x +3)(x-8)

5.f(x) = (3x+1)/(x^2-1)

6. f(x) = 2x/(x-6)

7. f(x) = (x^2-4x+1)/(x-6)

8.f(x) = 〖3x〗^2/x^3 +8x/x^2 -4/x

9.f(x) = ( 3x +4 )(x – 4)

10. f(x) = ( 3x + 1 ) ( x2 -2 )





























Derivadas de funciones trigonométricas
Los teoremas siguientes nos permiten calcular las derivadas de las funciones trigonométricas.
Derivadas de las funciones trigonométricas
1) d/dx [Sen u] = Cos u . du/dx

2) d/dx [Cos u] = Sen u ....