Derivadas aplicadas al derecho

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8. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que:
a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible
b) La suma de susraíces cuadradas sea lo mas grande posible
Solución
Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x
a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x,podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2, y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funcionesderivables.
Derivando:
f’(x) = 2x-2(36-x), de donde f’(x) = 4x-72
Para que f tenga un mínimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 y despejando x= 18
fes continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36)2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto.
La gráfica es:

Observación: Otraforma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que esel punto de tangente horizontal.

b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)= , derivando:
, h’(x)=0 , elevando al cuadrado ambos miembros yoperando se llega a que x=18.
La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues:
f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que elmenor valor posible lo alcanza en 0 y 36)

la gráfica es:

(Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremosabsolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: “toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo”)
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