Derivadas Bach

Apuntes de A. Cabañó
Matemáticas II

DERIVADAS
3.1 Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica de la derivada.
Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
3.2 Concepto de función derivada. Derivada segunda de una función.
3.3 Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento y decrecimiento.
3.4Teorema de ROLLE. Teorema del valor medio de LAGRANGE.
3.5 Puntos críticos de una función.
3.1 Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica de la derivada.
Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
El cálculo de derivadas y diferenciales se comienza en el siglo XVII con el propósito de dar respuesta a
tres problemasque en aquellos tiempos tenían en jaque a los más eminentes matemáticos y físicos
europeos:
- La definición de velocidad.
- La determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
- El cálculo de máximos y mínimos de una función.
• Definición de derivada.
Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe:

lim
h →0

f(a + h) - f(a)
hSi el límite existe se dice que la función es derivable en el punto x=a. La derivada de una función en un
punto es un número real. Por tanto conviene tener presente que el cálculo de derivadas se reduce al
cálculo de límites.
Para de signar este límite, o lo que es lo mismo la derivada de la función f en el punto x=a, se emplean
diversas notaciones: y ′(a),

′
f (a),

df
dx

,

dydx

Las dos primeras son debidas a Lagrange y las dos últimas a Leibniz.
Otra forma de escribir la derivada en un punto es la siguiente:
Si hacemos x=a+h, entonces h=x-a, con lo que x->a cuando h->0. Sustituyendo estos valores en la
fórmula anterior se obtiene una segunda forma de expresar la derivada:

′
f (a) = lim
x →a

f(x) - f(a)
x-a

f(x)

f(a)

a

x

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DerivadasApuntes de A. Cabañó
Matemáticas II

• Derivadas laterales.
Se llama derivada por la izquierda la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe:

lim
h →0 -

f(a + h) - f(a)
h

Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe:

f(a + h) - f(a)
h
h →0+
((+
La derivada por la izquierda se designa por f ′ a ) , yla derivada por la derecha f ′ a ) .

lim

Una función es derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en
dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Si los dos límites laterales son distintos y finitos en un punto presenta en este punto a un punto
anguloso.
De igual forma si los límites laterales son +∞ y -∞ y la función es continua se presentaun punto de
retroceso o cuspidal.
Si los límites laterales son los dos +∞ o bien -∞ en el punto a existirá un punto de inflexión con tangente
vertical.
• Derivabilidad en un intervalo.
Una función es derivable en un intervalo abierto ]a,b[ si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en cada punto de ]a,b[ y derivable
por laderecha en a y por la izquierda en b.
Ejemplo
si x < 0
2

Dada la función f (x ) =  x − 2 si 0 ≤ x < 4 , estudiar la continuida d y derivabili dad.
 x 2 − 4 si x > 4

CONTINUIDAD

Si x ≠ 0 y x ≠ 4: La función es continua pues f (x) es una función polinómica.
Para x = 0.
lím f (x ) = lím− 2 = 2

x →0 −
x →0

 → Discontinua en x = 0
lím+ f (x ) = lím+ (x − 2 ) = −2
x →0
x →0
Para x = 4.
lím f (x ) = lím− (x − 2 ) = 2 
x→4

 → Discontinu a en x = 4
2
lím+ f (x ) = lím+ x − 4 = 12
x→4
x→4

x→4−

(

)

Por tanto: f (x) es continua en R − {0, 4}

DERIVABILIDAD

f (x) es derivable en R − {0, 4}, pues es una función polinómica en cada uno de estos tres
intervalos.
La función no es derivable en x = 0 y x = 4, pues es discontinua en estos...