Derivadas de orden superior y regla de l'hôspital

Derivadas de Orden Superior
Al derivar una función cualquiera y=f(x) se genera otra función y’=g (x), como por ejemplo en el caso de que y =x2, al derivarla se obtiene la función y’=2x que seria laprimera derivada.
La primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función llamada ahora la segunda derivada, y así esta última se puede volver a derivar, se obtiene la terceraderivada y así sucesivamente.
Matematemáticamente se expresa como:
ddxdydx=d2ydx2
La segunda derivada es la derivada de la derivada, no la derivada por la derivada, son cosas diferentes, porejemplo, si y=x3, entonces la primera derivada es dydx =3x2.
La diferencia es: derivada de la derivada ddx 3x 2=6x.
La derivada por la derivada 3x2( 3x2)=9x4
Esto es aplicable a todas las derivadasNotaciones para las derivadas de y=f(x) |
Derivada | f'Notación | y'Notación | DNotación | Notación de Leibniz |
Primera | f'(x) | y' | Dxy | dydx |
Segunda | f''(x) | y'' | Dx2y | d2ydx2 |Tercera | f'''(x) | y''' | Dx3y | d3ydx3 |
n-esima | fn(x) | yn | Dxny | dnydxn |

Ejemplo 1:
Obtener la segunda derivada de la función y=5x2-7x+13
Solución
La primera derivada es
dydx=10x-7
Lasegunda derivada se obtiene derivando la primera derivada, es decir
ddx=dydx=d2ydx2=ddx10x-7=d2ydx2=10

Ejemplo 2:
Calcular la segunda derivada de la función s=2t2-12t+8 2
Solución
dsdt=4t-12d2sdt2=4
Ejemplo 3:
Calcular la tercera derivada de la función y=sen 6x
Solución
dydx=6cos6x Primera derivada
d2ydx2= -36 sen 6x Segunda derivada
d3ydx3=-216cos6x Tercera derivadaLa Regla De L’Hôspital
Supóngase que f y g son derivables y que g’x≠0 cerca de a (excepto quizás en a). Supóngase que
limx→afx= 0 y limx→agx=0
O que
limx→afx= -+∞ ylimx→agx=-+∞

En otras palabras, tenemos una indeterminada del tipo 00 o de ∞∞.
Entonces
limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)
Si el límite del segundo miembro existe (o es ∞ o es -∞)
* La regla de...