Derivadas direccionales

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Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

9. Diferenciaci´n de funciones reales de varias variables reales o 9.1. Diferenciaci´n 9.1.4. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE o
Derivadadireccional de funciones de dos variables Sea f (x, y) una funci´n de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llama derivada o direccional de f en (a, b) en ladirecci´n de u al siguiente l´ o ımite (si existe): Du f (a, b) = Dθ f (a, b) = lim f (a + h cos θ, b + h sen θ) − f (a, b) h→0 h

Cuando la funci´n es diferenciable en el punto, la derivada direccional sepuede expresar en funci´n de las o o derivadas parciales: Du f (a, b) = Dθ f (a, b) = fx (a, b) cos θ + fy (a, b) sen θ Gradiente de funciones de dos variables Se llama gradiente de la funci´ndiferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales: o f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)) Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar: Du f(a, b) = f (a, b) · u

Propiedades del gradiente de una funci´n de dos variables o • Si f (a, b) = 0, entonces Du f (a, b) = 0 para todo u. f (a, b) (direcci´n de o

a o • La derivada direccionalen (a, b) es m´xima en la direcci´n del vector gradiente m´ximo incremento de f ), siendo a f (a, b) su valor m´ximo. a

• La derivada direccional en (a, b) es m´ ınima en la direcci´n del vector − f(a, b) (direcci´n de m´ o o ınimo incremento de f ), siendo − f (a, b) su valor m´ ınimo. • La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier direcci´n perpendicular al vector gradiente. oDerivada direccional y gradiente de una funci´n de tres variables o La derivada direccional de f (x, y, z) en (a, b, c) en la direcci´n del vector unitario u = (u1 , u2 , u3 ) es o Du f (a, b, c) = fx (a,b, c)u1 + fy (a, b, c)u2 + fz (a, b, c)u3 = donde f (a, b, c) = (fx (a, b, c), fy (a, b, c), fz (a, b, c)) es el vector gradiente, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables....
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