Derivadas, ejercicios

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE FARMACIA CATEDRA DE MATEMATICA-FISICA

GUÍA N°4 : DERIVADAS

A. Utilizando la definición de la derivada, calcule las derivadas de las siguientes funciones reales de variable real: 1) f ( x) = 4 − ax 2 x +1 2) f ( x) = x 3 x −1 3) f ( x) = x a−x 4) f ( x) = a+x 3x + 2 5) f ( x) = 2x + 3 6) f ( x) = x − 3 7) f ( x) = x 2 + a 2 1  8) f ( x) =  x + x 
2

Sol. f ' ( x) = −2ax 1 Sol. f ' ( x) = − 2 x 2 x3 + 1 Sol. f ' ( x) = x2 2a Sol. f ' ( x) = − (a − x) 2 5 Sol. f ' ( x) = (2 x + 3) 2 Sol. f ' ( x) = Sol. f ' ( x) = x −3 2( x − 3)

x x2 + a2 x2 + a2 1  Sol. f ' ( x) = 2 x − 3  x  

B. Derivar y simplificar las siguientes funciones reales de variable real: 1) 2) 3) 4) f ( x) = 10 x 2 + 9 x − 4 f ( s ) = 15 − s + 4s − 5s f ( x)= ( x 3 − 7)(2 x 2 + 3)
2 4

f (r ) = r 2 (3r 4 − 7 r + 2) 4x − 5 5) f ( x) = 3x + 2 6) y = x (a − x) x b 3z 2 − z + 8 2 − 9z

Sol. 20 x + 9 Sol. − 1 + 8s − 20 s 3 Sol. 10 x 4 + 9 x 2 − 28 x Sol. 18r 5 − 21r 2 + 4r 23 Sol. (3x + 2)2 Sol. Sol. (3a − 4 x) x(a − x) 2b(a − x) − 27 z 2 + 12 z + 90 (2 − 9 z )2

7) f ( z ) =

8) f ( w) = (8w2 − 5w)(13w2 + 4) 9) f (t ) = t 3 −1 t3 +1

Sol.416 w3 − 195w2 + 64 w − 20 Sol. Sol. Sol.

(t

6t 2
3

+1

)

2

10) f ( x) = 2 x 11) f (r ) = 3 8r 3 + 27 12) f ( x) = 4 x x 13) f (u ) =
3u + 8 2u + 5

2x 2x

8r 2 3 8r 3 + 27 8r 3 + 27 Sol. 6 x
Sol. − Sol. Sol.
1 2(2u + 5) (3u + 8)(2u + 5)

14) f ( x) = x 3 − 4 x 15) f (u ) = u + 3
1 1 − u 2

3(1 − 2 x) 3 − 4 x 3 − 4x

16) f ( x) = ln(9 x + 4) 17) f ( x) = ln 7 − 2 x 318) f ( x) = x ln( x)  x2 +1   19) f ( x) = ln  (9 x − 4) 2    20) f ( x) = ln x + x 2 − 1
3x 21) f ( x) = e
2

(

)

u 3 u2 − 2u 3u 2 9 Sol. 9x + 4 − 3x 2 Sol. 7 − 2 x3 Sol. 1 + ln( x) Sol. − Sol.

9 x 2 + 4 x + 18 ( x 2 + 1)(9 x − 4)

(

)

x2 − 1 x2 − 1
2

Sol. 6 xe3 x Sol.

22) f ( x) = e

x +1

x + 1 e x +1 2( x + 1) 2 ex e2 x − 1

2 −2 x 23) f ( x) = x eSol. 2 x(1 − x) e −2 x Sol. − Sol.

 ex +1 24) f ( x) = ln x   e −1   
25) f ( x) = ln(e 2 x + e −2 x ) 26) f ( x) = x x +1 27) f ( x) = ( x )
x

(e 2 x − e −2 x ) ln(e 2 x + e −2 x ) (e 2 x + e − 2 x ) ln(e 2 x + e − 2 x )  1  Sol. 1 + + ln( x) x x +1  x  x 1 1 Sol. ⋅ (2 + ln x) x 4 x

2

 x2 +1 −1   28) f ( x) = ln 2  x +1 +1   29)

Sol.

2 x2 + 1 x3 + x
xy = ax

x

Sol. a x ln(a) ⋅ x x ⋅ (ln( x) + 1)     Sol. a2 + x2 x

 a + a2 + x2 30) f ( x) = a 2 + x 2 − a ln  x  31) f ( x) = x 2 cos x 32) f ( x) = senxtgx + cos x
cos x 1 + cos 2 x 1 34) f ( x) = tg 3 x − tgx + x 3 35) f ( x) = e x sen 2 x 1  36) f ( x) = cos 2  π + x  4 

Sol. x(2 cos x − xsenx) Sol. tgx ⋅ senx Sol. −

33) f ( x) =

sen3 x (1 + cos 2 x) 2

Sol.tg 4 x Sol. e x ( sen 2 x + sen2 x) 1 Sol. − sen( π + 2 x) 2 2 Sol. 1 + tgx Sol. − sec x
1 Sol. cos ec2 x 2 3 π Sol. sen(4 x − π ) sen(2 x − ) 2 2

π   37) f ( x) = x + ln cos( − x)  4    π 1  38) f ( x) = ln tg ( − x)   4 2 
1  1 − cos(2 x)   39) f ( x) = ln 8  1 + cos(2 x)    π 1  40) f ( x) = sen 3  2 x −  2 2  C. Derivar implícitamente: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 3x − 2 y+ 4 = 2 x 2 + 3 y − 7 x x 2 + y 2 − 16 = 0 x 2 − 2 xy + y 2 = x

Sol. 2 − Sol. −

4 x 5

x y 1 + 2( y − x) Sol. 2( y − x) Sol. − Sol. − Sol. −

x + y =1
2 x3 + x 2 y + y 3 = 1 x 2 y 3 + 4 xy + x − 6 y = 2

y x
6 x 2 + 2 xy x2 + 3 y 2

2 xy 3 + 4 y + 1 3x 2 y 2 + 4 x − 6

3

7) 8) 9)

4 ln( x + y ) − ln( x − y ) + 2 = 0

ln( x − y ) + e x − y = 2 e xy + sen( xy ) = 0

x10) arctg   = ln( x 2 + y 2 )  y   x 11) ln  + cos( xy ) = 4  y   12) e x + y − e x − y = 2

− 3x + 5 y 5x − 3 y Sol.1 y Sol. x 2x + y Sol. x − 2y Sol. y ( xysenxy − 1) x( xysenxy + 1) 2 Sol. − x + y e + ex− y Sol. −

D. Derivar y simplificar (funciones trigonométricas inversas):

 1 − cos x  1) y = arctg    1 + cos x   
2) y = 2 xarctg (2 x) − ln( 1 + 4 x 2 ) x...
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