derivadas parciales

Funciones de varias variables

Derivadas parciales.
El concepto de funci´on derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aqu´ı se emplea el concepto de diferencial de una funci´on en un
punto para describir el comportamiento de una funci´on en dicho punto, jugando un papel
an´alogo al de la derivada en el caso de una variable. Para funciones de unavariable ser
derivable equivale a ser diferenciable. En el caso de varias variables la definici´on de derivada
se restringe al caso de derivadas parciales.
f(x0 + h, y0 ) − f(x0, y0 )
∂f
(x0, y0) = l´ım
h→0
∂x
h
∂f
f(x0, y0 + k) − f(x0, y0 )
(x0, y0) = l´ım
k→0
∂y
k
en el caso de que existan.
∂f
(x0, y0 ) es la derivada de f en el sentido de funciones de una variable,
Se observaque
∂x
∂f
manteniendo y fija, en el punto (x0, y0 ) y lo mismo ocurre con
(x0, y0 ) manteniendo x fija.
∂y
Para funciones de tres variables la definici´on es an´aloga.
En algunos libros se utiliza la siguiente notaci´on para las derivadas parciales
∂f
f(x + ∆x, y) − f(x, y)
(x, y) = l´ım
∆x→0
∂x
∆x
∂f
f(x, y + ∆y) − f(x, y)
(x, y) = l´ım
∆y→0
∂y
∆y
La diferencia entre unadefinici´on y otra est´a en que, en la primera se ha particularizado
al punto (x0, y0 ) la derivada parcial y en el segundo caso se ha tomado un punto gen´erico
(x, y). Adem´as, en el segundo caso se ha sustituido h por ∆x y k por ∆y con el fin de hacer
patente que en la derivada parcial hay una variaci´
on, ya sea de x o de y.
Ejemplo 1
Si f(x, y) = x2 tan(xy) se tiene que
∂f
y
x2 y
2
(x,y) = 2x tan(xy) + x
= 2x tan(xy) +
∂x
cos2(xy)
cos2 (xy)
∂f
x3
(x, y) =
∂y
cos2(xy)

B. Gonz´
alez - ULL

para un punto cualquiera (x, y) del dominio de f. Si, en particular, se nos piden las derivadas
parciales en el punto (0, 0) basta con sustituir x e y por las coordenadas de dicho punto como
ocurre con las funciones de una variable. En el caso del punto (0, 0) ambas derivadasparciales
ser´ıan nulas.
Ejemplo 2
Para
y

g(x, y, z) = x2 e z
tenemos
y
∂g
(x, y, z) = 2xe z ,
∂x

x2 y
∂g
(x, y, z) = e z ,
∂y
z

x2 y y
∂g
(x, y, z) = − 2 e z .
∂z
z

Otra notaci´
on.
Para abreviar la escritura de f´ormulas en las que intervienen derivadas parciales se suele
utilizar la siguiente notaci´on:
Si z = f(x, y), las derivadas parciales en un puntocualquiera de coordenadas (x, y) se
denotan por
∂f
(x, y) = fx (x, y) = zx (x, y)
∂x
o para abreviar, simplemente zx.
∂f
(x, y) = fy (x, y) = zy (x, y)
∂y
o para abreviar, zy .
Si u = f(x, y, z), las derivadas parciales en un punto cualquiera de coordenadas (x, y, z)
se denotan por
∂f
(x, y, z) = fx (x, y, z) = ux (x, y, z)
∂x
o bien de forma abreviada ux .
∂f
(x, y, z) = fy (x, y, z) =uy (x, y, z)
∂y

∂f
(x, y, z) = fz (x, y, z) = uz (x, y, z)
∂z
o abreviando uy y uz respectivamente.

2

B. Gonz´
alez - ULL

Ejemplo 3
Sea z = Ax4 + 2Bx2 y 2 + Cy 4. Probar que xzx + yzy = 4z.
Se tiene que
zx = 4Ax3 + 4Bxy 2,
zy = 4Bx2y + 4Cy 3.
Con lo cual
xzx + yzy = 4Ax4 + 4Bx2 y 2 + 4Bx2y 2 + 4Cy 4 = 4Ax4 + 8Bx2y 2 + 4Cy 4 = 4z
Las derivadas parciales de una funci´on z =f(x, y) definen a su vez nuevas funciones que
tienen su propio dominio. En los puntos en los que existan derivadas parciales de las derivadas
parciales primeras se definen las derivadas parciales segundas:
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂y
∂
∂x

∂f
∂x
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂y

(x, y) =

(x, y) =
(x, y) =

∂ 2f
(x, y)
∂x2
∂ 2f
(x, y)
∂x∂y
∂ 2f
(x, y)
∂y 2

∂ 2f
(x, y)
(x, y) =
∂y∂xlas cuales, para abreviar, se suelen denotar por
zxx

zxy

zyy

zyx

fxx

fxy

fyy

fyx

respectivamente, o bien por
De manera an´aloga se definen las derivadas parciales de orden superior para funciones
de dos variables y para funciones de tres o m´as variables.
Ejemplo 4
Si z = exy se tiene:
zx
zy
zxx
zxy
zyy
zyx

=
=
=
=
=
=

yexy
xexy
y 2exy
exy + xyexy...