Derivadas

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Prof.:luis orozcofuenzalida EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS II MAT62200

CÁLCULO DIFERENCIAL REGLA DE BERNOULLI (EX L'HÔSPITAL)
1.- Calcular (si existe) 637
! %
B%

BÄ%

$ B%

B%

.
Š%
B%

Solución: Forma ! , por lo que hay que calcular 637 BÄ% 637
Š%
B%

BÄ%

ˆB  %‰w

$

B%



w

œ œ œ%
B%

637

Š%

B%

†68Ð%Ñ  $ "

B%

ˆB  %‰w

$

B%



w

:

†68Ð$Ñ‹

BÄ%

68Ð%Ñ  68Ð$Ñ 68Ð $ Ñ.
B%

%

por lo tanto

637

BÄ%

$ B%

œ 68Ð $ Ñ.

%

2.- Calcular (si existe) 637

"  /B . # BÄ! $B Š"  /B ‹
# w

#

Solución: Forma ! , por lo que hay que calcular 637 BÄ! 637
Š"  /B ‹
# w

!

ˆ$B# ‰w

:

BÄ!

ˆ$B# ‰w

œœ œ

637 637

#B/B 'B BÄ!
#

#

#/B ' BÄ! "  $.

Por lo tanto 637

"  /B # BÄ! $B

#

œ  $.

"

3.- Calcular 637

+B  , B B BÄ! !

Solución: Forma ! , por lo que hay que calcular 637 BÄ!

ˆ+B  , B ‰w : ˆB‰w

1

ˆ+B  , B ‰w 637 ˆB‰w BÄ!

œ œ

637

+B 68Ð+Ñ  , B 68Ð,Ñ " BÄ!

68Ð+Ñ  68Ð,Ñ

Por lo tanto 637

+B  , B œ 68Ð+Ñ  68Ð,Ñ. B BÄ!

4.-Calcular (si existe) 637
!

/ =/8ÐBÑ  B . # & BÄ! $B  B

B

Solución: Forma ! , por lo que hay que calcular 637 BÄ! 637
Š/ =/8ÐBÑ  B‹
B w
B

Š/ =/8ÐBÑ  B‹
B

w

ˆ$B#  B& ‰w

:
!

BÄ!

ˆ$B#  B& ‰w

œ

/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  " 637 'B  &B% BÄ! Š/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  "‹
B B w

B

;Forma !

luego hay que calcular 637

BÄ!

ˆ'B  &B% ‰w

637

Š/ =/8ÐBÑ / -9=ÐBÑ  "‹
B B

w

BÄ!

ˆ'B

w  &B% ‰

œ œ œ

637

/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  / =/8ÐBÑÑ '  #!B$ BÄ!
B

B

B

B

B

#/ -9=ÐBÑ 637 '  #!B$ BÄ! " $.

por lo tanto

637

/ =/8ÐBÑ  B " œ $. $B#  B& BÄ!
B B

B

/ / # 5.- Calcular (si existe) 637 "  -9=Ð$BÑ . BÄ! !

Solución: Forma ! , por lo que hay que calcular 637 w : BÄ! ˆ"  -9=Ð$Bщ 637
wBÄ! ˆ"  -9=Ð$Bщ

Š/  /
B

B

 #‹

w

Š/  /
B

B

 #‹

w

œ

637 $ =/8Ð$BÑ BÄ!
Š/  /
B B

/ / ‹

B

B

;Forma !

!

w w

luego hay que calcular 637

BÄ! ˆ$ =/8Ð$Bщ

2

637

BÄ! ˆ$ =/8Ð$Bщ

Š/  /
B

B



w w

œ œ
/ /
B B

/ / 637 * -9=Ð$BÑ BÄ! # * # #

B

B

por lo tanto 637 "  -9=Ð$BÑ œ * . BÄ! 6.- Calcular (siexiste) 637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ.
BÄ"

Solución: Forma ! † _, por lo que hay que "transformarlo" a la forma ! o _ ; es decir: 637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ
BÄ"

!

_

œ

637

BÄ"

" 68ÐB  "Ñ

B"

;Forma !

!

o
_

637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ
BÄ"

œ

637

68ÐB  "Ñ
" B"

BÄ"

;Forma _ ,
!

el cual usaremos. Usted verifique que si elige la forma ! , esto conducirá a algo no"muy agradable".
Š68ÐB  "Ñ‹
" ˆ B  " ‰w w w

Luego hay que calcular 637

BÄ"

637

Š68ÐB  "Ñ‹
" ˆ B  " ‰w

BÄ"

œ œ œ

637

BÄ"

" B" " ÐB  "Ñ#

 637 ÐB  "Ñ
BÄ"

!.
" B"

por lo tanto 637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ œ 637
BÄ"

68ÐB  "Ñ

BÄ"

œ !.

7.- Calcular (si existe) 637 Š $B  & ‹ . BÄ_ Solución: Forma "_ , por lo que hay que "transformarlo" a la forma! † _ y luego a la
$B  # #B

forma ! o _ ;

!

_

3

BÄ_

637 Š $B  & ‹
$B  #

#B

œ œ œ

/

637 68Š $B  # ‹ $B  & BÄ_

#B

/ BÄ_

68Š $B  # ‹ $B  & 637 " BÄ_ #B / " ’ #B “

637 #B68Š $B  # ‹ $B  &

;Forma ! † _ ;Forma !
!

Luego hay que calcular

BÄ_
w

637

’68Š $B  # ‹“ $B  &
w

w

BÄ_

637

’68Š $B  # ‹“ $B  &
" ’ #B “ wœ œ œ œ œ

#" Ð$B  #ÑÐ$B  &Ñ 637 " BÄ_ #B#

%#B# Ð$B  #ÑÐ$B  &Ñ BÄ_ %#B# 637 *B#  *B "! BÄ_ %#  * . "%  $ .

637

por lo tanto

637 Š ‹ BÄ_ $B  &
$B  #

#B

œ

68Š $B  # ‹ $B  & " BÄ_ #B /

637

œ /



"% $

.

APLICACIONES
".- Determine el(los) punto(s) de la curva, de ecuación C œ B$  $B#  *B  %, donde la recta tangente sea horizontal...
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