Derivadas

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DERIVADA

El concepto de derivada está intimadamente ligado al del límite.
Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b'):
[pic]
El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta, y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal.
[pic]
Si tenemos una función f(x) ylos dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos): 
[pic][pic][pic]
Por lo tanto tendremos que:
[pic]
Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por:
[pic]
Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solopunto)
[pic]
La ecuación de la recta tangente vendrá dada por:
[pic]
Donde la pendiente es:
[pic]
Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto:
[pic]
 
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?
Puesto que la derivada es un límite, lo que tenemos que hacer es calcularlo. Veamos un ejemplo sencillo:
Sea la función f(x) = x2vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3
[pic]
 

Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que:
f '(1) = 2 · 1 = 2
Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2.
Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente, es decir, al aumentar la x aumenta la y.
¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada?
Si en elejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que
f '(-1) = 2 · (-1) = -2
En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente.
Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera, vemos que si x0 es positivo, la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo laderivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente.
¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha.
[pic]
 

Conclusión: la derivada nos puede servir para estudiar las funciones.
Derivada de una constante
|Tipo nº 1|
|[pic] |
|LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. |

Ejercicio nº 1) [pic]
Sol: [pic]

Ejercicio nº 2) [pic]
Sol: [pic]
Ejercicio nº 3) [pic]
Sol: [pic]
Ejercicio nº 4) [pic]
Sol: [pic]
Ejercicio nº 5) [pic]
Sol: [pic]Ejercicio nº 6) [pic]
Sol: [pic]

Ejercicio nº 7) [pic]
Sol: [pic]
Derivada de una función potencial: Forma simple
|Tipo nº 2 |
|[pic] |
|LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable |
|elevado a una unidad menos.|

Ejercicio nº 8) [pic]
Sol: [pic]
Ejercicio nº 9) [pic]
Sol: [pic]
Ejercicio nº 10) [pic]
Sol: [pic]
Ejercicio nº 11) [pic]
Sol: [pic]

Ejercicio nº 12) [pic]
Sol: [pic]

LIMITES DE FUNCIONES

Conjunto de los números reales

Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotarpor R; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real
[pic]

Función:

Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a...
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