Derivadas

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………3

2.1 DEFINICIÓN DE DERIVADA……………………………………….4

2.2 FORMULAS BASICAS……………………………………………….5

2.3 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POR UNA CONSTANTE………6

2.4 DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES…………………….8

2.5 DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES……………….11
➢ EJERCICIOS……………………………………………………….17

2.6 DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES…………………18
➢EJERCICIOS……………………………………………………….21

2.7 REGLA DE LA CADENA……………………………………………...22
➢ EJERCICIOS………………………………………………………..31

2.8 EJERCICIOS DIVERSOS……………………………………………...32

INTRODUCCIÓN

El concepto de derivada es muy importante en las ciencias exactas e ingeniería. Su interpretación como rapidez cambio aparece en problemas relacionados con el movimiento de una partícula, dinámica depoblación, desintegración radiactiva y en general es una herramienta muy poderosa que sirve para modelar sistemas que evolucionan con el tiempo (sistemas dinámicos).

La idea de escribir estas notas está basada en lo siguiente:

a). Dar las técnicas necesarias para aprender a derivar funciones de una variable

b).Sintetizar éstas técnicas a unas cuantas fórmulas de derivación, a las propiedades de laderivada y a la regla de la cadena.

En vista de lo anterior, éstas notas no proporcionan una base teórica de la derivada, solo se verá desde un punto de vista operacional y algo muy importante:

EL OBJETIVO ES APRENDER A DERIVAR SIN TENER QUE RECURRIR A LOS FAMOSOS FORMULARIOS.

Espero que estas notas les sean de utilidad.

2.1 DEFINICION DE DERIVADA

Sea [pic] una función real devariable real. La derivada de[pic] respecto a[pic], representada por [pic], [pic], [pic] ó [pic], se define por:

NOTA:

[pic] y [pic] se leen : “efe prima de x “ y “ ye prima “, respectivamente.

Geométricamente [pic] nos representa “LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE [pic]EN EL PUNTO [pic] “.

[pic][pic]

2.2 FORMULAS BASICAS

Vamos a empezarnuestras notas dando una lista de derivadas de funciones elementales. Aunque no las vamos a demostrar, vamos a suponer que son validas y también que las funciones involucradas son ya conocidas.

1. Si c es cualquier constante entonces

“La derivada de una constante es CERO”.

2. [pic]
3. [pic]

4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]

7. [pic]

A continuaciónenunciamos las propiedades de la derivada.

2.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POR UNA CONSTANTE

En palabras:
“La derivada de una función por una constante se calcula dejando fija la constante y luego multiplicando por la derivada de la función”.

Ejemplo 2.1.1

1. Calcula la derivada de [pic].
En este caso c=9 y [pic]

Entonces:

Ejemplo 2.1.2 Calcula la siguiente derivada.

[pic].Solución:

Tomemos

C=3 y [pic]

Entonces:

2.2 DERIVADA DE UNA SUMA.

En palabras:
“La derivada de una SUMA es la SUMA de las Derivadas”

Otra forma de expresar esto es decir que:

“La Derivada SEPARA a la suma de funciones”:

Ejemplo 2.2.1 veamos como funciona esta regla.

Calculemos [pic]

Solución:

Tomemos [pic] y [pic]

Entonces:

Ejemplo 2.2.2 Calcular [pic]Solución:

Tomamos [pic] y [pic]

Así:

Ejemplo 2.2.3. Encuentre [pic]

Solución:

2.3 DERIVADA DE UN PRODUCTO

En palabras:

“ES EL PRIMERO POR LA DERIVADA DEL SEGUNDO + EL SEGUNDO POR LA DERIVADA DEL PRIMERO”

¡IMPORTANTE! NO ES CIERTO QUE:

Esto es: La derivada del producto NO ES el producto de las derivadas.

Por ejemplo

Pero
[pic] y [pic]Así [pic]

Ejemplo 2.3.1:

¿Cómo calculamos le derivada de [pic] ?
Solución:

¡FACIL! La función [pic] es el producto de [pic] y [pic].

Entonces:

[pic]

Por lo tanto [pic]

Ejemplo 2.3.2 Hallar [pic].

Solución:

[pic]

Ejemplo 2.3.3 Calcula: [pic]

Solución:

En este ejemplo observemos que, para nuestro propósito, la operación principal es...
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