Derivadas

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Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el conceptode derivada, los comunes son los siguientes:
Definiciones de Derivada:
Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto
(x , f(x) ) es la derivada de f enx.
Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto
P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.
Definición:Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en elpunto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de unarecta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los xcentímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.
Esta definición, que a continuación se presenta, es una de las definiciones más clásicas y más fáciles deabordar, sin embargo es necesario que se analice con sumo cuidado. (8.4MB)

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamosiniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

a medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema quese muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:

Analizando esta línea tangente podemos ver que:

el triángulo...
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