Derivadas


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APLICACIONES DE LA DERIVADA







5.1 MAXIMOS Y MINIMOS

Continuamente el hombre esta buscando la mejor manera de hacer sus actividades. Por ejemplo una industria para ser productiva busca minimizar sus costos de producción. Un arquitecto necesita minimizar los costos de construcción de una nueva unidad departamental. Un Ingeniero Químico necesita maximizar la capacidad de unatorre de destilación para obtener mayor producto puro.

A menudo muchos problemas cotidianos en que es necesario optimizar se pueden expresar en forma matemática. Si es así, él calculo diferencial puede proporcionar una poderosa herramienta para solucionar el problema.

Supongamos entonces que tenemos un problema expresado mediante una función F con dominio DF y de quiere optimizar de algunamanera (ver fig.5.1).












Lo primero que haremos es determinar si f puede poseer un valor máximo o mínimo en DF. Suponiendo que tales valores existen, queremos saber donde se alcanzan en DF. Finalmente, queremos calcular los valores máximos y mínimos



Fig. 5.1


Cálculo de máximos y mínimos

El cálculo de máximos y mínimos de una función es un proceso muy sencilloque será fácil de recordar si se tiene bien presente la fig. 5.2 y fig. 5.3.














Fig. 5.2


















m=0




Fig. 5.3


Los máximos y mínimos en una función pueden llamarse relativos o absolutos.
Un máximo o un mínimo absoluto en una función se da cuando la ordenada y es mayor o menor en lagráfica relativamente.





Así, la fig.- a) presenta un mínimo absoluto en x=a; un máximo absoluto en x=d y, un máximo relativo en x=b y un mínimo relativo en x=c.

Los valores en el dominio de f para los que la pendiente se hace nula se les denomina “valores críticos “ así por ejemplo en la fig. 5.4 los valores críticos son b y c. Estos valores él calcularse permiten analizar si la funcióntiene un máximo o mínimo relativo.




Método para calcular máximos y mínimos

1. Se halla la 1ra derivada de la función dada.
2. Se iguala a cero la primera derivada de y se resuelve la ecuación resultante, las raíces obtenidas son los valores críticos.
3. Se consideran los valores críticos o no por uno con el fin de determinar los signos de la primera derivada en primer lugar para unvalor poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo para el valor critico de la variable que se analiza; En el caso contrario de (-) a (+), se tiene un mínimo. Si el signo de la derivada no cambia, la función no presenta ni máximo ni mínimo para el valor critico analizado.


Ejemplos demostrativos

1. Calcular los máximos ymínimos de la función y=3+4x-2x2 Solución .

a) Se halla la primera derivada de la función

y=3+4x-2x2

y'=4-4x

b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve

4-4x=0

4(1-x)=0

1-x=0

x=1 valor critico .


c) Analizado el valor crítico x=1

un valor poco menor
un valor poco mayor
con x=0
con x=2
y'=4-4(0)
y' =4
y'=4-4(2)
y'=4-8
y'=-4Para x=1, tenemos un máximo cuyo valor es:
y=3+4x-2x2
y=3+4(1)-(1) 2
y=3+4-2
y=5

Tabulando y=3+4x-2x2

x
Y
-3
-2
-1
0
1
2
3
-27
-13
-3
3
5
3
-3

2. Calcular los máximos y mínimos de la función y=5-2x2+3x3
Solución.

y=5-2x2+3x3

y'=-4x+9x2

-4x+9x2=0

x=0 9x-4=09x=4


Analizando el valor crítico x=0

Para un valor poco menor
Para un valor poco mayor
Con x=-1
Con x=
y'=-4+9x2
y'=-4(1)+9(-1)2
y'=4+9
y'=13
y'=-4x+9x2
y'= -4
y'=
y'=
y'=


Analizando el valor crítico de x=

Para un valor poco menor
Para un valor poco mayor
Con x=
Con x=1
y'=
y'=-4x+9x2
y'= -4(1)+9(1)2
y'= -4+9
y'=5...