Derivadas

INTRADUCION
 

Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite deun cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada de una función, derivadas laterales, teoremassobre derivadas, derivación implícita, derivadas de orden superior, etc.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea f una función derivable en todo su dominio.
En el entorno del punto a podemos aproximar la función por la recta
y(x) = f(a) + f ’(a) (x-a)
esto es, la aproximación f(x) f(a) + f ‘(a) (x-a) es correcta cuando (x-a) es pequeño.
De forma más precisa podemos decir que lafunción diferencia f(x) – y(x) es un infinitésimo de orden superior a (x-a):
 =  0
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|
Vemos en el dibujo que el valor del cociente incremental es igual a la pendiente de la secante a la curva que pasa por los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)).
En el límite, cuando x tiende a ‘a’, la secante tiende a la tangente a la curva en a y, por tanto, la derivada de la función representa la pendiente dela recta tangente a la curva en el punto.
La recta tangente es y = f(a) + f'(a) · (x-a).

DERIVADA CONCEPTO

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor deuna función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una solavariable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada esllamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

EL SENTIDO GEOMÉTRICO DEL DIFERENCIAL

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente,la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por y ....