Derivadas

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DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.
Se traza la tangente a lacurva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
Diferencial de una función en un punto

Se define diferencialde una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) • h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) • h
Propiedades de la diferencial
Primera propiedad:
La diferencial deuna función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.
Segunda propiedad:
Al ser dy = f ' (x)•h = , la diferencia de una función en un punto esel incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
Tercera propiedad:
Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) • h = 1 • h = h. Así,dx = h y

Cuarta propiedad:

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a


cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial
Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido ensegundos.
Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre

Resolución:
Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,
ds = (10t + 1) • dt

Sustituyendo enla expresión de ds,

En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

Se ha cometido un error de
24,18 m - 23,66 m = 52 cm
Calcular 3,052.
Resolución:
Paraencontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2.
Diferenciando esta función, dy = 2x dx.
Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en
el...
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