Derivadas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Bachaquero – Estado Zulia

INTEGRANTE
Oleyfe Mogollón C.I. 20.457.116

DERIVADAS SUCESIVAS
Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vezobtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.
EJEMPLO:

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO:

La derivada geométricamente representa la pendiente de la recta tangente que toca a la curva en un punto
a.- En una recta corresponde al valor de la pendiente de la recta, es decir, m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación.

b.- En consecuencia, en el caso de una recta es la pendiente. Esdecir m permite determinar la DIRECCION de la recta.

c.- Considerando lo anterior, podemos afirmar que es la pendiente de la recta secante que corta a la curva y=f(x) en los puntos (x,f(x)) y
d.- Como x es un valor que tiende a , así también el punto (x ,f(x)) tiende a . De esta forma GEOMETRICAMENTE las secantes se van “ transformando” en la TANGENTE a la curva en el punto.
e.- Enconsecuencia, es la pendiente de la RECTA TANGENTE a la curva y = f(x) en el punto cuando x tiende a .( tiende a 0 ).
f.- Luego el , o sea la DERIVADA de una función en un punto, es la PENDIENTE de la recta TANGENTE a la curva en el punto .
g.- La recta TANGENTE a una curva en un punto, determina la DIRECCION de la curva en ese punto. Podemos concluir entonces que la DIRECCION DE UNA CURVAestá definida por las diversas direcciones que tienen las infinitas tangentes en cada punto.
h.- Para DEFINIR MATEMATICAMENTE en un solo concepto la DIRECCION de una curva, se hace necesario GENERALIZAR el concepto anterior.
i.- Así el concepto al transformarse en

representa ahora LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE a la curva en cualquier punto de ella.
j.- Finalmente podemos decirque representa la DIRECCION DE LA CURVA y = f(x) en todos sus puntos.
k.- NOTA: Se recomienda dibujar en una gráfica lo que se ha explicado previamente. Es decir, la gráfica de la función , las secantes y la tangente(con su respectivo ángulo de inclinación).

Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante ala gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
 
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica def(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0

Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1.
Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

APLICACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA

         Consideremos la función espacio E= E(t).
         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0,t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.
         Solución
         v(t)=E’(t)= 2t...