derivadas

APLICACIONES DE DERIVADAS
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no sesimplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Incremento De Una Función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer (a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) elincremento de la función.
Tasa De Variación Media




T.V.M. [a, b] =
Tasa De Variación Instantánea
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería.
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
=
ReglaDe La Cadena
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°g es derivable en a y se verifica:
(f°g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)
Derivación Logarítmica
Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si Þ y’, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.
Método:Sea
1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad
ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva     
 
3º Se despeja y’
[][]
Que puede escribirse:

Derivada De La Función Inversa
Es otra aplicación de la regla de la cadena.
Como f°f -1= I, se tiene (f°f –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando
(f –1)’(x)= 1/f ’(f–1)’(x),
Consideremos la función y =arc tg x  Þ x = tg y,  y derivando x ’ = 1 +tg2y

Crecimiento Y Decrecimiento De Una Función
Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el punto a.

Funciones De Oferta Y Demanda
Si x es el número de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda puedenrepresentarse por:

Y =  f (x)
Dónde, en la práctica  x se toma siempre positivo.
Si: f’ > 0; la función es de oferta
Si: f < 0; La función es de Demanda.
Costo Promedio

Cp =  C (x)  / x   = y

Costo Marginal:

Cm = C ‘(x) = dy / dx

Costo Promedio Marginal

Cpm = dy /dx =  xC’(X) – C(x)  / x^2     d/dx * Cp



RESUMEN

En matemáticas, la derivada de una función es unode los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.
La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del número decambio.
Por otro lado cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de una funcion, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.
Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola variable), la función es aproximable linealmente.
Tasa De Variación Media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los...