Derivadas

Páginas: 8 (1911 palabras) Publicado: 29 de octubre de 2012
MATEMATICAS 2º Bachillerato

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Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

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c 2004 gonzaleof@unican.es 2 de junio de 2004

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Introducci´n o 1.1. El problema de la tangente • Ideaintuitiva de la reta tangente • Ecuaci´n de la reta tangente o 2. Definici´n de derivada en un punto o • Derivabilidad y continuidad • Derivadas laterales 3. Derivada en un intervalo 3.1. Funci´n Derivada o 4. Reglas de Derivaci´n o • Derivada de una constante • Derivada de la potencia • Regla de la suma • Regla del producto • Regla del cociente • Regla de la cadena 5. Derivadas de las funcionestrascendentes • Trigonom´tricas • Exponenciales • Logar´ e ıtmos • Derivadas Logar´ ıtmicas 6. Regla de la inversa • Derivadas de Arcos trigonom´tricos e Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

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Secci´n 1: Introducci´n o o

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1. Introducci´n o Los cient´ ıficos delos ultimos a˜os del siglo XVII dedicaron gran parte de ´ n su tiempo y energ´ a resolver el problema de la tangente que tiene relaci´n ıa o en cuestiones como las siguientes: En ´ptica, el ´ngulo con el que un rayo de luz incide en una superficie o a de una lente est´ definida en t´rminos de la tangente a la superficie. a e En f´ ısica, la direcci´n de un cuerpo en movimiento en un punto de su orecorrido es la de la tangente en ese punto. En geometr´ al ´ngulo entre dos curvas que intersecan es el ´ngulo ıa, a a entre las tangentes en el punto de intersecci´n. o ¿C´mo encontraremos la ecuaci´n de la tangente? Usaremos el m´todo o o e ya desarrollado por Fermat en 1629. El concepto de derivada es el fundamento del C´lculo. La definici´n de derivaa o da puede abordarse de dos formas. Una esgeom´trica (como la pendiente de e una curva) y la otra es f´ ısica (como raz´n de cambio). o

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Secci´n 1: Introducci´n o o

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1.1. El problema de la tangente

• Idea intuitiva de la reta tangente
Se llama tangente a una curva en un punto, a la recta que pasa por el punto con lamisma direcci´n que la curva. o ¿Puede la recta tangente cortar a la curva en m´s de un punto?. a ¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?.

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I

A
Las figuras muestran la respuesta afirmativa a ambas preguntas. A continuaci´n veremos como se determina la pendiente de la recta tano gente.

Secci´n1: Introducci´n o o

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• Ecuaci´n de la reta tangente o
Dada una funci´n y = f (x) y un punto A(a, f (a)) del grafo de la funci´n o o se trata de determinar la pendiente de la recta tangente al grafo de la funci´n o en el punto A. Consideremos la recta secante desde A a B. Siendo los puntos A(a, f (a)) y B(a + h, f (a + h)),

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CIENCIASf (x) B
la secante AB tiene pendiente f (a + h) − f (a) f = h h A medida que h → 0, B → A, y definimos la pendiente de la tangente mtan como m=

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∆f A 0←h

f (a + h) − f (a) a a+h mtan = lim h→0 h Esta pendiente la escribiremos como f (a) quedando la ecuaci´n de la tano gente de la forma y − f (a) = f (a)(x − a) (1)

Secci´n 2: Definici´n dederivada en un punto o o

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2. Definici´n de derivada en un punto o Definici´n 2.1 Sea f una funci´n y a ∈ Dom(f ). Definimos derivada de f o o en x = a al siguiente l´ ımite cuando existe y es finito f (a) = lim f (a + h) − f (a) h→0 h (2)

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Observaciones: Cuando dicho l´ ımite sea infinito se...
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