Derivadas

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)EJERCICIOS RESUELTOS

Un banco presta el servicio de poder invertir en el, las ganancias dependen de la cantidad de dinero invertida, según la formula:R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad (ganancia) generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta quedisponemos de 500 pesos.
a) ¿Cuando aumenta y cuando disminuye la ganancia?
b) ¿Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima ganancia posible?c) ¿Cual será el valor de dicha ganancia?
Solución:

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada espositiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función: R(x)=-0.002x2+0.8x-5
R´x=d-0.002x2+d0.8x-d5R´x=2(-0.002)x2-1+0.8-0

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0, y se resuelve la ecuación que resulta despejando x:

R`(x)=0

0.004x=0.8-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200).f
0
| | | |
| | | |

f ´ + 200 -
se escoge un numero menor que 200, por ejemplo 100,y sustituimos
(R´(x)=-0.004x+0.8)

R´(100)=-0.004(100)+0.8= 0.4 >0
y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300)
R´(300)=-0.004(300)+0.8= -0,4