Derivadas

INSTITUTO TECNICO “PADRE MANUEL BRICEÑO JAUREGUI”
“FE Y ALEGRIA”
AREA DE MATEMATICAS
"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo". Galileo Galilei









ASIGNATURA:__CALCULO DIFERENCIAL ___________________________________

DOCENTE:_______________________________________________ GRADO:__ ____________
UNIDAD: 3____ FECHA:________________TEMA: DERIVADAS


OBJETIVO GENERAL


• Desarrollar destrezas en el calculo de derivadas de funciones lineales, cuadráticas, algebraicas y trigonométricas aplicando diferentes métodos.




INDICADORES DE DESEMPEÑO





Entiende y utiliza las reglas de derivación


Conoce y aplica la derivación implícita


Reconoce y aplica, con ejercicios las derivadas de las funcionestrigonometricas






MOTIVACIÓN




Con esta actividad de cálculo acaba de entrar a la etapa final del área de las matemáticas correspondiente al grado once.

El análisis matemático comprende básicamente y en forma elemental, el dominio de las derivadas y las principales reglas de la derivación, las cuales son aplicadas de la manera más sencilla para su fácil asimilación.

Nuestro deseo es que deesta etapa en adelante, usted se sienta una persona triunfadora, exitosa que alcanzó una meta y que se propone a seguir adelante.



INTRODUCCIÓN


El concepto de derivada fue desarrollado por Newton (1642-1727) y por Leibniz (1646-1716). Leibniz fue el primero en publicar la teoría relativa a las derivadas pero parecer ser que Newton tenía escritos al respecto anteriores al trabajo de Leibniz.Newton descubrió que un hecho común en muchas de la naturaleza es el cambio a las transformaciones que se presentan en un cierto lapso de tiempo. La derivada es un concepto matemático que sirve para calcular la variación de una variable con respecto a otra en una situación en donde se hace evidente un cambio.

En general, los matemáticos del siglo XVII encontraron ciertos problemas relacionados condiferentes clases de movimeitno y muchos de tipo geométrico que no se podían abordar por los métodos usuales.

Algunos de esos problemas se enuncian así:

❖ Trazar la recta tangente a una cuerva en cualquier punto
❖ Calcular la velocidad de un movimiento no uniforme en cualquier instante
❖ Hallar la razón de cambio de una magnitud dada.

La solución de estos problemas condujo a lacreación de una de las ramas del análisis matemático llamado cálculo diferencial.







TEMA 1 DESARROLLO TEMÁTICO



INCREMENTO



La variación entre X1 y X2, es la diferencia entre estos valores y se denota como ∆X, es decir, ∆X = X2 – X1 nótese que la variación puede ser positiva o negativa.


Recta Secante


Cualquier recta que pase por dos puntos de una cuerva se llama recta secante.
Lapendiente de la recta secante se define como :

MPQ = f(X2) – f(X1)
∆X

Recta Tangente

Si consideramos el punto P como un punto fijo y desplazamos en el punto Q a lo largo de la cuerva en dirección hacia P, entonces ∆X ( 0, de acuerdo con esto, la recta secante gira sobre el punto fijo P. Si esta recta tiene una posición limite (es decir, el punto Q se acerca lo suficiente aP), se dice que es tangente a la gráfica en P. Por tanto se tiene que la pendiente de la recta tangente a la gráfica en P es límite de mPQ CUANDO ∆X ( 0.





Definición


Si f es una función continua en X1, entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto P = (X1 k(x1)) es aquella que pasa por P cuya pendiente es

m(X1) = lím f(X1 + ∆X) – f( x1)∆X


Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de f(x) = x2 en el punro (2, 4).

Solución
Determinamos primero la pendiente de la recta en cualquier punto x:

m(x) = lím (x1+∆x)2 - x2 = lim x2 + 2x∆ + (∆x)2 - x2 = lim ∆x (2x + ∆x) = 2x. Por tanto
∆x ∆x ∆x

m(2) = 4 y...