Derive - Programacion Lineal

DERIVE

PROGRAMACIÓN LINEAL

4.1. REPRESENTACIÓN DE LA REGIÓN DE VALIDEZ
 
Para resolver problemas de programación lineal en el plano debemos representar la región de validez y la función objetivo.
Para representar una función en DERIVE introduce su expresión (por ejemplo  x+3y’20)  y, a continuación, pulsa el icono  [pic]  para abrir la ventana gráfica. Una vez en ella debes pulsar denuevo el icono  [pic]  para dibujar efectivamente la función. Dibuja la función  x + 3y ’ 20.  Utiliza los iconos de las flechas para ampliar o reducir el gráfico.
[pic]
En el menú  Ventana  puedes seleccionar la opción  Mosaico vertical  para visualizar simultáneamente las ventanas gráfica y de expresiones.
Con el icono  [pic]  puedes borrar la última gráfica, y con  CTRL+D  todas las gráficas.Podemos representar varias funciones simultáneamente agrupándolas entre corchetes.
Por ejemplo, introduce y representa  [x+3y’20, x+y’10, x’0, y’0].  Esta gráfica corresponde al ejercicio de las páginas 114-116 del libro.
Para representar la función objetivo introduce y representa  3x + 5y ’ 45.
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Observando las inclinaciones, ¿cuál crees que es el punto del recinto interior limitado porlas rectas que maximiza la función objetivo?
Para verlo más claramente representa  [3x+5y’42, 3x+5y’40, 3x+5y’38, 3x+5y’36].
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Pero las restricciones no son ecuaciones, sino inecuaciones. Para solventar esta dificultad usamos las funciones  LHS  y  RHS  que seleccionan respectivamente el primer y segundo miembro de una inecuación o ecuación.
Introduce las siguientes expresiones para lasrestricciones  RESTR(x, y)  y las aristas que delimitan la región de validez  REG:
RESTR(x, y):’ [x + 3y ≤ 20, x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0]
Los símbolos  ≤  y  ≥  puedes encontrarlos en la ventana de símbolos junto a la ventana de introducción de expresiones. Si no te aparece puedes abrirla marcando la opción Ventana-Barra de herramientas-Barra de símbolos.
[pic]
REG:’VECTOR(LHS((RESTR(x,y))SUBi)’RHS((RESTR(x, y))SUBi), i, 1,
DIMENSION(RESTRICCIONES(x, y)))
La función  DIMENSION(REST(x, y))  nos da el número de restricciones introducidas.
La expresión  SUBi  señala la restricción número  i. Puedes escribir también ↓ i  con la flecha de la barra de símbolos.
Elimina todos los gráficos y representa el resultado (conjunto de rectas) que resulta de simplificar  REG.
Para analizargráficamente la función objetivo vamos a representar un conjunto de rectas paralelas.
Introduce la siguiente función objetivo:
F(x, y):’ 3x+5y
A continuación introduce la siguiente herramienta:
FOBJ(f, inicio, final, salto):’ VECTOR(f’i, i, inicio, final, salto)
Para aplicarla a nuestra función de ejemplo introduce, simplifica  y representa  FOBJ(F(x, y), 36, 50, 2).
Así obtendremos lasrectas  3x + 5y ’ k  con  k  desde 36 hasta 50 aumentando de 2 en 2.
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Puedes modificar los valores si la representación no es lo suficientemente clara.
Sitúa el cursor sobre el punto correspondiente a la solución óptima y observa sus coordenadas en la parte inferior izquierda de la ventana.
4.2. CÁLCULO DE VÉRTICES
 
La solución óptima de un problema de programación lineal se encuentra en elborde de la región de validez (vértice o arista). Para calcular un vértice debemos hallar el punto de intersección de las dos aristas que lo delimitan. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones correspondientes.
Para hallar el punto de intersección correspondiente a las restricciones 1 y 2 puedes introducir y simplificar la siguiente expresión:
SOLVE([REG SUB 1,REG SUB 2], [x, y])
Tambiénpuedes construir la siguiente herramienta:
INTERS(i, j):’ SOLVE([REG SUB i,REG SUB j], [x, y])
Así,  INTERS(1, 2)  hallará el punto de intersección de las aristas correspondientes a las restricciones 1 y 2.
Halla las intersecciones  (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)  y  (3, 4).  ¿Todas ellas cumplen todas las restricciones?
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Simplifica las expresiones  RESTR(5, 5)  y  RESTR(0, 10). ...